Trong toán học, đặc biệt là trong đại số và lý thuyết số, quan hệ đồng dư (gọi đơn giản là đồng dư) là một quan hệ tương đương trên tập hợp số nguyên.

Định nghĩaSửa đổi

Cho số nguyên dương n, hai số nguyên: a,b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng có cùng số dư khi chia cho n. Điều này tương đương với hiệu a-b chia hết cho n.

Ký hiệu:

 

Ví dụ:

 

Vì 11 và 5 khi chia cho 3 đều cho số dư là 2:

11: 3 = 3 (dư 2)

5: 3 = 1 (dư 2)

Tính chấtSửa đổi

Ngoài các tính chất của một quan hệ tương đương (phản xạ, đối xứng, bắc cầu), phép đồng dư còn có thêm các tính chất sau: Có thể cộng, trừ, nhân và nâng lên lũy thừa các đồng dư thức có cùng một mô-đun, cụ thể. Nếu ta có:

 
 

Thì ta có:

  •  
  •  
  •  
  •  , với k nguyên dương.

Luật giản ướcSửa đổi

Nếu   và (b,n)=1 (b,n nguyên tố cùng nhau) thì  

Nghịch đảo mô-đunSửa đổi

Nếu số nguyên dương n và số nguyên a nguyên tố cùng nhau thì tồn tại duy nhất một số   sao cho:  , số x này được gọi là nghịch đảo của a theo mô-đun n.

Hệ thặng dư đầy đủSửa đổi

Tập hợp   được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n nếu với mọi số nguyên i,  , tồn tại duy nhất chỉ số j sao cho  .

Tính chấtSửa đổi

  • Nếu   là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n thì   là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n với mọi số nguyên a.
  • Nếu   là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n thì   là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n với mọi số nguyên a nguyên tố cùng nhau với n.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi