Mở trình đơn chính

Định nghĩaSửa đổi

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong   là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong   chính là nghịch đảo của bán kính cong  .

 

Gọi   là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và   là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

 

Tính độ cong của một đường cong phẳngSửa đổi

Trong hệ tọa độ DescartesSửa đổi

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số  , từ phần trên ta có định nghĩa:

 

  là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa  góc tiếp tuyến của đường cong.

 

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta được:

 

 

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

 

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số   thì độ cong được tính như sau:

 

Trong hệ tọa độ cựcSửa đổi

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số   thì độ cong được tính như sau:

 

Ví dụSửa đổi

Đường thẳngSửa đổi

Đường thẳng   hay   sẽ có độ cong được tính như sau:

 

Áp dụng công thức ta có:

 

hay công thức:

 

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường trònSửa đổi

Đường tròn   hay   sẽ có độ cong được tính như sau:

 

Áp dụng công thức ta có:

 

hay công thức:

 

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khácSửa đổi

  • Đường parabol   sẽ có độ cong được tính như sau:
 

Áp dụng công thức ta có:

 
  • Đường ellipse   sẽ có độ cong được tính như sau:
 

Áp dụng công thức ta có:

 
 
 

với   là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnhSửa đổi

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes   được tính theo công thức

 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi