sửa
Theo Cauchy , tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong
R
{\displaystyle R}
κ
{\displaystyle \kappa }
bán kính cong
R
{\displaystyle R}
κ
=
1
R
{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}
Gọi
d
s
{\displaystyle ds}
pháp tuyến cách nhau, và
d
ϕ
{\displaystyle d\phi }
pháp tuyến . Ta có định nghĩa khác về độ cong:
κ
=
d
ϕ
d
s
{\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}
sửa
sửa
Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}}
κ
=
d
ϕ
d
s
=
d
ϕ
d
t
d
s
d
t
=
d
ϕ
d
t
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
=
d
ϕ
d
t
x
′
2
+
y
′
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}
d
ϕ
{\displaystyle d\phi }
pháp tuyến , ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến . Từ đó ta có thể định nghĩa
ϕ
{\displaystyle \phi }
góc tiếp tuyến của đường cong.
tan
ϕ
=
d
y
d
x
=
d
y
d
t
d
x
d
t
=
y
′
x
′
{\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}
Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số
t
{\displaystyle t}
d
d
t
(
tan
ϕ
)
=
(
1
+
tan
2
ϕ
)
d
ϕ
d
t
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}
⇔
d
ϕ
d
t
=
1
1
+
tan
2
ϕ
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
=
1
1
+
(
y
′
x
′
)
2
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
x
′
2
+
y
′
2
{\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}
Kết hợp các kết quả thu được ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}}
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
κ
=
d
2
y
d
x
2
[
1
+
(
d
y
d
x
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}
Xem thêm: Hệ tọa độ cực Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số
r
=
r
(
θ
)
{\displaystyle r=r(\theta )}
κ
=
r
2
+
2
(
d
r
d
θ
)
2
−
r
d
2
r
d
θ
2
[
r
2
+
(
d
r
d
θ
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}
Đường thẳng
{
x
=
t
y
=
a
t
+
b
{\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}}
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
x
′
=
1
,
x
″
=
0
,
y
′
=
a
,
y
″
=
0
,
d
y
d
x
=
a
,
d
2
y
d
x
2
=
0
{\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
=
1
⋅
0
−
a
⋅
0
(
1
2
+
a
2
)
3
/
2
=
0
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0}
hay công thức:
κ
=
d
2
y
d
x
2
[
1
+
(
d
y
d
x
)
2
]
3
/
2
=
0
[
1
+
a
2
]
3
/
2
=
0
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}
Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.
Đường tròn
{
x
=
R
cos
t
y
=
R
sin
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}}
r
=
R
{\displaystyle r=R}
x
′
=
−
R
sin
t
,
x
″
=
−
R
cos
t
,
y
′
=
R
cos
t
,
y
″
=
−
R
sin
t
,
d
r
d
θ
=
0
,
d
2
r
d
θ
2
=
0
{\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
=
(
−
R
sin
t
)
⋅
(
−
R
sin
t
)
−
(
R
cos
t
)
⋅
(
−
R
cos
t
)
[
(
−
R
sin
t
)
2
+
(
R
cos
t
)
2
]
3
/
2
=
1
R
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}
hay công thức:
κ
=
r
2
+
2
(
d
r
d
θ
)
2
−
r
d
2
r
d
θ
2
[
r
2
+
(
d
r
d
θ
)
2
]
3
/
2
=
R
2
+
2
⋅
0
2
−
R
⋅
0
[
R
2
+
0
2
]
3
/
2
=
1
R
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}
Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Đường parabol
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
d
y
d
x
=
2
a
x
,
d
2
y
d
x
2
=
2
a
{\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
d
2
y
d
x
2
[
1
+
(
d
y
d
x
)
2
]
3
/
2
=
2
a
[
1
+
(
2
a
x
)
2
]
3
/
2
=
2
a
(
1
+
4
a
2
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}
Đường ellipse
{
x
=
a
cos
t
y
=
b
sin
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}
x
′
=
−
a
sin
t
,
x
″
=
−
a
cos
t
,
y
′
=
b
cos
t
,
y
″
=
−
b
sin
t
{\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}
Áp dụng công thức ta có:
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
=
(
−
a
sin
t
)
⋅
(
−
b
sin
t
)
−
(
b
cos
t
)
⋅
(
−
a
cos
t
)
[
(
−
a
sin
t
)
2
+
(
b
cos
t
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}}
=
a
b
[
(
a
y
b
)
2
+
(
b
x
a
)
2
]
3
/
2
=
a
b
[
a
2
(
1
−
x
2
a
2
)
+
b
2
a
2
x
2
]
3
/
2
{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}
=
a
b
[
a
2
−
(
1
−
b
2
a
2
)
x
2
]
3
/
2
=
a
b
(
a
2
−
e
2
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}
với
e
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
sửa
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}}
κ
=
(
z
″
y
′
−
y
″
z
′
)
2
+
(
x
″
z
′
−
z
″
x
′
)
2
+
(
y
″
x
′
−
x
″
y
′
)
2
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}
sửa
sửa
sửa
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad34fc9950d1712cf25064a3aaa0234596db306a)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395ad96a97938b0546bf4a2d98315aaa49e09fc3)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44ac5f0c825eb6c60090546dfca1ebc035a8f5a)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d3385d9e0b22a67c64ed480eb8d64543719ac7)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b98f1b92ec4aeff9c4da491aaddbfd5d3da0401)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997d11e6d3c843c34710e2e720ec4f5a7cd9b409)
![{\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0de28e2f5fa9f5af9356d7e96d4735e473a8815)
![{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b25e2987a84a6c85627274d4d77b36332e22400)
![{\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bcde9b5dc419805a6ebca80d610b79192f9510)
