Đa thức Chebyshev

Đa thức Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev, [1] là một dãy đa thức trực giao (tiếng Anh: orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức de Moivre (de Moivre's formula). Có thể xác định dãy đa thức này bằng công thức truy hồi, giống như số Fibonacci và số Lucas.

Có hai loại: đa thức Chebyshev loại I (ký hiệu là T_n) và đa thức Chebyshev loại II (ký hiệu là U_n). Chữ T được dùng để ký hiệu vì, trong tiếng Pháp tên của Chebyshev viết là Tchebycheff và trong tiếng Đức là Tschebyscheff. Chữ n ký hiệu cho bậc của đa thức.

Đa thức Chebyshev đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết gần đúng. Các nghiệm của đa thức Chebyshev loại I, còn được gọi là các điểm Chebyshev (Chebyshev node), được dùng trong đa thức nội suy. Nhờ có nó, mà sai số do hiệu ứng Runge là nhỏ nhất.

Trong phương trình vi phân, đa thức Chebyshev loại I và loại II lần lượt là nghiệm của 2 phương trình vi phân Chebyshev sau:

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!$

và

$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!$.

Định nghĩa

Định nghĩa theo công thức truy hồi

Đa thức Chebyshev loại I xác định theo công thức truy hồi:

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}$

Công thức tổng quát quy ước của T_n

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Công thức mũ tổng quát

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!$

Đa thức Chebyshev loại II xác định theo công thức truy hồi:

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$

Một công thức tổng quát của U_n

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Định nghĩa theo lượng giác

Đa thức Chebyshev loại I có thể định nghĩa bằng lượng giác:

$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!$

hoặc là:

$T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!$

với n = 0, 1, 2, 3,....

Định nghĩa theo lượng giác của đa thức Chebyshev loại II:

$U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,\!$

công thức này khá giống với nhân Dirichlet (Dirichlet kernel) $D_{n}(x)\,\!$:

$D_{n}(x)={\frac {\sin((2n+1)(x/2))}{\sin(x/2)}}=U_{2n}(\cos(x/2))\,\!$.

Dễ thấy, $\cos(n\vartheta )$ là đa thức bậc n với $\cos(\vartheta )$ là biến. Đồng thời, $\cos(n\vartheta )$ cũng là phần thực trong công thức Moivre (de Moivre's formula).

Từ công thức tổng quát bằng lượng giác ở trên, có thể dễ dàng chứng minh công thức truy hồi:

$T_{n+1}(\cos(\vartheta ))=2\cos(\vartheta )T_{n}(\cos(\vartheta ))-T_{n-1}(\cos(\vartheta ))=2\cos(\vartheta )\cos(n\vartheta ))-\cos((n-1)\vartheta )=\cos((n+1)\vartheta )+\cos((n-1)\vartheta )-\cos((n-1)\vartheta )=\cos((n+1)\vartheta )\,\!$

Sau đây, ta sẽ kiểm tra tính đúng đắn của định nghĩa đa thức Chebyshev theo lượng giác, với n = 0 và n = 1:

$T_{0}(\cos \vartheta )=\cos 0\vartheta \ =1\,\!$

và:

$T_{1}(\cos \vartheta )=\cos \vartheta \,\!$

và với đa thức Chebyshev bậc 2 và 3:

$\cos(2\vartheta )=2\cos \vartheta \cos \vartheta -\cos 0\vartheta =2\cos ^{2}\,\vartheta -1\,\!$

$\cos(3\vartheta )=2\cos \vartheta \cos(2\vartheta )-\cos \vartheta =4\cos ^{3}\,\vartheta -3\cos \vartheta \,\!$

tương tự cho các bậc cao hơn.

Một tính chất khá thú vị của đa thức Chebyshev:

$T_{n}(T_{m}(x))=T_{n\cdot m}(x).\,\!$

Mối liên hệ giữa đa thức Chebyshev và số phức: cho z = a + bi,

${\begin{aligned}z^{n}&=|z|^{n}\left(\cos \left(n\arccos {\frac {a}{|z|}}\right)+i\sin \left(n\arccos {\frac {a}{|z|}}\right)\right)\\&=|z|^{n}T_{n}\left({\frac {a}{|z|}}\right)+ib\ |z|^{n-1}\ U_{n-1}\left({\frac {a}{|z|}}\right).\end{aligned}}$

Định nghĩa theo phương trình Pell

Trong vành R[x] (tập hợp các đa thức với hệ số thực), đa thức Chebyshev được định nghĩa như nghiệm của phương trình Pell biến thể:

$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!$.

Sử dụng kĩ thuật giải phương trình Pell có tên là "nghiệm sinh từ nghiệm nhỏ nhất", suy ra công thức tổng quát sau:

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!$

Tính chất

Công thức liên hệ (Transformation)

Các công thức liên hệ:

$T_{n}\left(1-2x^{2}\right)=(-1)^{n}T_{2n}(x)$ (trans.1)

và

$U_{n}\left(1-2x^{2}\right)x=(-1)^{n}U_{2n+1}(x).$ (trans.2)

Chứng minh

Chứng minh quy nạp công thức (trans.1):

Với n=0:

$T_{0}\left(1-2x^{2}\right)=1=(-1)^{0}T_{2.0}(x)$

và n = 1:

$T_{1}\left(1-2x^{2}\right)=1-2x^{2}=-1.T_{2}(x)$,

do đó công thức (trans.1) đúng với n=0 và n=1.

Giả sử (trans.1) đúng với n > 0, ta chứng minh nó đúng với n+1:

$T_{n+1}(1-2x^{2})$

$=2(1-2x^{2})T_{n}(1-2x^{2})-T_{n-1}(1-2x^{2})$

(theo giả thiết quy nạp ta thay $T_{n}(1-2x^{2})=(-1)^{n}T_{2n}(x)$ và $T_{n-1}(1-2x^{2})=(-1)^{n-1}T_{2n-2}(x)$)

$=2(1-2x^{2})(-1)^{n}T_{2n}(x)-(-1)^{n-1}T_{2n-2}(x)$

$=-4x^{2}(-1)^{n}T_{2n}(x)+(-1)^{n}.[T_{2n}(x)+T_{2n-2}(x)]+(-1)^{n}.T_{2n}(x)$

$=-4x^{2}(-1)^{n}T_{2n}(x)+(-1)^{n}.2x.T_{2n-1}(x)+(-1)^{n}.T_{2n}(x)$

$=-2x(-1)^{n}[2xT_{2n}(x)-T_{2n-1}(x)]+(-1)^{n}.T_{2n}(x)$

$=-2x(-1)^{n}T_{2n+1}(x)+(-1)^{n}.T_{2n}(x)$

$=(-1)^{n+1}[2xT_{2n+1}(x)-T_{2n}(x)]$

$=(-1)^{n+1}T_{2n+2}(x)$.

Như vậy (trans.1) đúng với n+1, theo quy tắc quy nạp, nó đúng với mọi n (điều phải chứng minh).

Chứng minh quy nạp tương tự cho (trans.2).

Nghiệm và cực trị

Một đa thức Cheybyshev bậc n (cả hai loại) có n nghiệm thực phân biệt, gọi là nghiệm Chebyshev, các nghiệm này đều nằm trên khoảng [−1,1]. Các nghiệm này đôi khi được gọi là các điểm nút Chebyshev (tiếng Anh: Chebyshev nodes) bởi vì chúng được dùng trong đa thức nội suy. Sử dụng định nghĩa lượng giác của đa thức Chebyshev, với

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,(2k+1)\right)=0$

ta có thể chứng minh dễ dàng các nghiệm của T_n là

$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2k-1}{n}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.$

Tương tự, các nghiệm của U_n là

$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$

Giá trị cực đại của đa thức Chebyshev loại I trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1 bằng 1 và giá trị cực tiểu bằng -1. Đa thức Chebyshev chỉ có 2 giá trị tới hạn, giống như đặc tính của đa thức Shabat.

Cả hai loại đa thức Chebyshev đều đạt cực trị tại 2 điểm đầu mút:

$T_{n}(1)=1\,$

$T_{n}(-1)=(-1)^{n}\,$

$U_{n}(1)=n+1\,$

$U_{n}(-1)=(n+1)(-1)^{n}.\,$

Đạo hàm và tích phân

Đạo hàm

Khi đạo hàm các đa thức Chebyshev trong dạng lượng giác, ta suy ra:

${\frac {dT_{n}}{dx}}=nU_{n-1}\,$

${\frac {dU_{n}}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\,$

${\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\,$

Điểm đặc biệt của ${\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}$ (là giá trị mà khi thay vào làm cho nó có dạng 0/0 dạng không xác định(indeterminate form)) là x = 1 and x = -1. Tại đó ${\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}$ bằng:

${\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}{\Bigg |}_{x=1}\!\!={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},$

${\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}{\Bigg |}_{x=-1}\!\!=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.$

Chứng minh

Đạo hàm bậc hai của đa thức Chebyshev loại I:

$T''_{n}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}$

nếu thay trực tiếp x = ±1 vào thì nó có dạng không xác định ${\frac {0}{0}}$. Mặt khác, $T''_{n}(x)$ là một đa thức, do đó nó có giá trị thực xác định tại x = ±1. Và ta có thể tính giá trị tại điểm x = 1 bằng giới hạn sau:

$T''_{n}(1)=\lim _{x\to 1}n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}$

Phân tích mẫu số:

$T''_{n}(1)=\lim _{x\to 1}n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{(x+1)(x-1)}}=\lim _{x\to 1}n{\frac {\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}{x+1}}.$

$T''_{n}(1)=n{\frac {\lim _{x\to 1}{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}}{\lim _{x\to 1}(x+1)}}={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}.$

Ở đây mẫu số vẫn bằng 0, suy ra tử số nhất định bằng 0 (vì giới hạn tồn tại), cụ thể $U_{n-1}(1)=nT_{n}(1)=n$. Đến đây ta áp dụng quy tắc 'Hôpital's:

${\begin{aligned}T''_{n}(1)&={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}(nT_{n}-xU_{n-1})}{{\frac {d}{dx}}(x-1)}}\\&={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {d}{dx}}(nT_{n}-xU_{n-1})\\&={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}\left(n^{2}U_{n-1}-U_{n-1}-x{\frac {d}{dx}}(U_{n-1})\right)\\&={\frac {n}{2}}\left(n^{2}U_{n-1}(1)-U_{n-1}(1)-\lim _{x\to 1}x{\frac {d}{dx}}(U_{n-1})\right)\\&={\frac {n^{4}}{2}}-{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {d}{dx}}(nU_{n-1})\\&={\frac {n^{4}}{2}}-{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {T''_{n}(1)}{2}}\\T''_{n}(1)&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\\\end{aligned}}$

Chứng minh cho trường hợp $x=-1$ tương tự bằng cách áp dụng $T_{n}(-1)=(-1)^{n}$.

Công thức tổng quát:

${\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}{\Bigg |}_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}.$

Kết quả này có ý nghĩa rất lớn trong tìm đáp số của giá trị đặc trưng.

Tích phân

Tích phân của U_n:

$\int U_{n}\,dx={\frac {T_{n+1}}{n+1}}\,$

Tích phân của T_n:

$\int T_{n}\,dx={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {nT_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.\,$

Tính trực giao

Dãy T_n và dãy U_n đều là dãy đa thức trực giao.

Cụ thể hơn, các đa thức loại I, xác định trên khoảng mở (−1,1)với mật độ (Tiếng Anh: The polynomials of the first kind are orthogonal with respect to the weight): ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\,\!$ thì:

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}$

Tính chất trên được chứng minh bằng cách thay $x=\cos(\vartheta )$ và sử dụng đẳng thức

$T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )$.

Tương tự các đa thức loại II xác định trên khoảng đóng [−1,1] với mật độ (tiếng Anh: The polynomials of the second kind are orthogonal with respect to the weight):${\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$

thì:

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}$

(Chú ý giá trị lượng (weight) ${\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$ là mật độ của phân bố nửa đường tròn Wigner (tiếng Anh: Wigner semicircle distribution).

Đa thức T_n cũng thỏa mãn tính trực giao rời rạc (iếng Anh: discete orthogonality):

$\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&:i\neq j\\N&:i=j=0\\N/2&:i=j\neq 0\end{cases}}\,\!$

với $x_{k}$ là không điểm Gauss–Lobatto thứ N của $T_{N}(x)$

$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{N}}\right).$

Định chuẩn nhỏ nhất

Với số nguyên bất kì n ≥ 1, trong số các đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất bằng 1, đa thức sau:

$f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)$

có giá trị tuyệt đối lớn nhất trên đoạn [−1, 1] nhỏ nhất.

Trong công thức trên sở dĩ nhân ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ với $T_{n}(x)$ là bởi vì hệ số bậc cao nhất của đa thức $T_{n}(x)$ luôn bằng $2^{n-1}$.

Giá trị lớn nhất đó bằng:

${\frac {1}{2^{n-1}}}$

và |ƒ(x)| đạt giá trị lớn nhất tại n + 1 điểm:

$x=\cos {\frac {k\pi }{n}}{\text{ for }}0\leq k\leq n.$

Chứng minh

Giả sử tồn tại đa thức $w_{n}(x)$ bậc n với hệ số bậc cao nhất bằng 1, và giá trị tuyệt đối lớn nhất trên [−1, 1] nhỏ hơn ${\frac {1}{2^{n-1}}}$.

Xét đa thức sau:

$f_{n}(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)-w_{n}(x)$

đa thức này có bậc nhỏ thua n.

Do giả thiết, tại mỗi điểm $T_{n}(x)$ bằng $\pm 1$, thì $|w_{n}(x)|<|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)|$

$f_{n}(x)>0{\text{ for }}x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}{\text{ với }}0\leq 2k\leq n$

$f_{n}(x)<0{\text{ for }}x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}{\text{ với }}0\leq 2k+1\leq n$.

Như vậy $f_{n}(x)$ có nghiệm trên n khoảng $(0,{\frac {Pi}{n}}),({\frac {Pi}{n}},{\frac {2Pi}{n}}),\ldots ({\frac {(n-1)Pi}{n}},{\frac {nPi}{n}})$. Nói cách khác, nó có ít nhất n nghiệm, điều này vô lý vì $f_{n}(x)$ là đa thức bậc ≤(n-1).

Suy ra điều giả sử là sai. ta có điều phải chứng minh.

Mối liên hệ với các loại đa thức khác

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của Jacobi và đa thức Gegenbauer,

• $T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x),$
• $U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).$

Các tính chất khác

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của đa thức Gegenbauer, đến lượt mình đa thức Gegenbauer lại là trường hợp đặc biệt của Jacobi.

Với số nguyên n bất kì, T_n(x) và U_n(x) đều là đa thức bậc n.

Nếu n chẵn thì T_n(x) và U_n(x) là hàm chẵn, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc chẵn là khác 0.

Ví dụ:

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$.

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$.

Nếu n lẻ thì T_n(x) và U_n(x) là hàm lẻ, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc lẻ là khác 0.

Ví dụ:

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$.

Hệ số bậc cao nhất của T_n là 2^{n − 1} if 1 ≤ n, và 1 tương ứng với bậc bằng 0.

T_n là trường hợp riêng của đường cong Lissajous curve với tần số tỉ lệ (tiếng Anh: frequency ratio) là n.

Một số dãy đa thức khác, ví dụ đa thức Lucas (L_n), đa thức Dickson(D_n), và đa thức Fibonacci(F_n) có liên hệ với đa thức Chebyshev T_n and U_n.

Đa thức Chebyshev loại I thỏa mãn công thức truy hồi sau:

$T_{j}(x)T_{k}(x)={\frac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|j-k|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0,\,$

với mọi j và k.

Đối với đa thức Chebyshev loại II là:

$U_{j}(x)U_{k}(x)=\left(U_{j+k}(x)+U_{|j-k|}(x)\right),\quad \forall j\neq 0,k\neq 0$.

Từ công thức:

$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$

suy ra công thức sau:

$T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin((2n+1)\theta )$.

Ví dụ

Các đa thức Chebyshev loại I đầu tiên trong khoảng −1 < x < 1: Đồ thị của T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ và T₅.

Các đa thức Chebyshev loại I đầu tiên:

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

Các đa thức Chebyshev loại II đầu tiên trong khoảng −1 < x < 1: Đồ thị của U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ và U₅. Không thể hiện trong ảnh, U_n(1) = n + 1 and U_n(−1) = (n + 1)(−1)ⁿ.

Các đa thức Chebyshev loại II đầu tiên:

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,$

$U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,$

$U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,$

$U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,$

Xem thêm

• Điểm Chebyshev
• Bộ lọc Chebyshev
• Căn bậc ba Chebyshev
• Đa thức Dickson
• Đa thức Legendre
• Đa thức Hermite
• Hàm hữu tỉ Chebyshev
• Cầu phương Clenshaw–Curtis
• Lý thuyết xấp xỉ

Tham khảo

• Bản mẫu:Abramowitz Stegun ref
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), “Orthogonal Polynomials”, trong Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (biên tập), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR2723248
• Bản mẫu:Eom

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Chebyshev Polynomial of the First Kind" từ MathWorld.
• Module for Chebyshev Polynomials by John H. Mathews Lưu trữ 2007-05-29 tại Wayback Machine
• Chebyshev Interpolation: An Interactive Tour, includes illustrative Java applet.
• chebfun project Lưu trữ 2010-01-23 tại Wayback Machine, representing functions by automatic Chebyshev polynomial interpolation in MATLAB.