0,999...

khai triển thập phân thay thế của số 1

Trong toán học, số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999... hay còn được viết hoặc . Nói cách khác: ký hiệu 0,999...1 đều thể hiện cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều sách giáo khoa[1][2][3][4]. Nhiều cách chứng minh khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được công nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như vi phân: một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số p-adic.

Con số kéo dài với vô hạn chữ số 9.

Chứng minhSửa đổi

Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.

Số họcSửa đổi

Phân số và phép chiaSửa đổi

Ta có:

   

Một phiên bản rút gọn khác là

 

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Alligood, Kathleen T. (1997). Chaos : an introduction to dynamical systems. Tim Sauer, James A. Yorke. New York: Springer. ISBN 0-387-94677-2. OCLC 33946927.
  2. ^ Apostol, Tom M. (1974). Mathematical analysis (ấn bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4. OCLC 827630.
  3. ^ Bartle, Robert G. (1982). Introduction to real analysis. Donald R. Sherbert. New York: Wiley. ISBN 0-471-05944-7. OCLC 7875643.
  4. ^ Beals, Richard (2004). Analysis : an introduction. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-64842-7. OCLC 667041380.

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi