Bất đẳng thức Hölder

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Hölder, đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian Lp: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) và g thuộc Lq(S). Khi đó fg thuộc L1(S) và

Các số pq nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian Lp, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh Lpđối ngẫu với Lq.

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ýSửa đổi

 
 .
  • Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có
 
  • Dạng đại số thường gặp trong chứng minh bất đẳng thức của bất đẳng thức Holder

 

  • Trong trường hợp không gian xác suất  ,   là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với moment p hữu hạn,

 , trong đó   là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành

 .

Trường hợp tổng quátSửa đổi

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử   sao cho

 

Giả sử  . Khi đó ta có  

 

Tham khảoSửa đổi

  • Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra (PDF), Brigham Young University.

Tham khảoSửa đổi