Bất đẳng thức Jensen

Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức do nhà toán học Johan Jensen phát minh. Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.

1. Nếu $f$ là một hàm lồi trên $\mathbb {I} (a,b)$ thì với mọi $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ ta luôn có $f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\geq nf({\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$.
2. Nếu $f$ là một hàm lõm trên $\mathbb {I} (a,b)$ thì với mọi $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ ta luôn có$f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\leq nf({\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$.

Lưu ý: Nếu $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb {I} (a,b)$ và có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb {I}$ thì $f$ lồi khi ta có $f''(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb {I} (a,b)$ và $f$ lõm khi ta có $f''(x)\leq 0,\forall x\in \mathbb {I} (a,b)$.

Ví dụ: $f(x)=x^{2}$ là hàm lồi vì $f''(x)=2$ luôn lớn hơn 0.

Xem thêm

• Bất đẳng thức Popoviciu
• Bất đẳng thức Karamata

Tham khảo

• David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8.
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN 978-88-207-2675-1.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006

Liên kết ngoài

• Hàm lồi (tiếng Anh), Wolfram|Alpha