Bất đẳng thức Jensen

1. Nếu $f$ là một hàm lồi trên $\mathbb {I} (a,b)$ thì với mọi $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ ta luôn có $f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\geq nf({\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$.
2. Nếu $f$ là một hàm lõm trên $\mathbb {I} (a,b)$ thì với mọi $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ ta luôn có$f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\leq nf({\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$.

Lưu ý: Nếu $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb {I} (a,b)$ và có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb {I}$ thì $f$ lồi khi ta có $f''(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb {I} (a,b)$ và $f$ lõm khi ta có $f''(x)\leq 0,\forall x\in \mathbb {I} (a,b)$.

Ví dụ: $f(x)=x^{2}$ là hàm lồi.

Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.

Xem thêm

• Bất đẳng thức Popoviciu
• Bất đẳng thức Karamata

Tham khảo

• David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8. 
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN 978-88-207-2675-1. 
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1. 
• Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006

Liên kết ngoài

• Hàm Lồi (tiếng Anh), Wolfram|Alpha