Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho
và
thì
Tương tự, nếu
và
thì
Chứng minh
sửa
Cách 1: Dùng bất đẳng thức hoán vị.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
-
và
-
Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có
-
là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.
-
-
-
-
-
Cộng vế theo vế, ta có:
-
chia cả hai vế cho , ta nhận được:
-
(điều phải chứng minh)
Cách 2: Phép biến đổi tương đương:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
(luôn đúng do và ).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tham khảo
sửa