Bổ đề Borel-Cantelli

Bổ đề Borel-Cantelli được phát biểu vào nửa đầu thế kỉ 20, được mang tên nhà toán học Pháp Emile Borel và nhà toán học Ý Francesco Palo Cantelli. Bổ đề này thường được dùng trong lý thuyết xác suất. Nó còn được gọi là tiêu chuẩn Borel cho luật không-một.

Lý thuyết này đề cập tới dãy các biến cố. Trong một tương đối tổng quát hơn, nó cũng là một kết quả trong lý thuyết độ đo (measure theory).

Phát biểu

Cho (E_n) là một dãy các biến cố trong không gian xác suất, bổ đề Borel-Cantelli cho rằng:

Nếu tổng các xác suất của E_n là hữu hạn

$\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,$

thì xác suất để chúng xảy ra vô hạn là bằng không, nghĩa là

$\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.\,$

Ở đây, limsup là ký hiệu của giới hạn trên. Lưu ý rằng không cần có giả thiết về sự độc lập (của các biến cố). Pr(X) là xác suất của biến cố X.

Thí dụ

Giả sử (X_n) là dãy các biến ngẫu nhiên, với Pr(X_n = 0) = 1/n² cho mọi n. Thế thì tổng của Pr(X_n = 0) là hữu hạn (thật ra nó là π²/6 - xem Hàm Riemann zeta), thì bổ đề Borel-Cantelli kết luận rằng xác suất để X_n = 0 xảy ra một số nhiều vô hạn các n là bằng 0.