Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục
Chuỗi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc
Biến đổi Fourier theo thời gian gián đoạn

Trong toán học, biến đổi Fourier liên tục là một toán tử tuyến tính chuyển một hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang một hàm khả tích khác. Theo ngôn ngữ của chuyên ngành xử lý tín hiệu hay trong vật lý, biến đổi Fourier khai triển một hàm số theo các thành phần trong phổ của nó, và ngược lại biến đổi Fourier nghịch đảo xây dựng lại một hàm số thông qua các thành phân tần số của nó. Đây cũng là ý tưởng chính của các dạng khác của biến đổi Fourier, bao gồm cả biến đổi Fourier rời rạc.

Xét một hàm số phức khả tích Lebesgue x(t). Một biến đổi Fourier của nó sang miền tần số góc ω được cho bởi hàm:

cho tất cả các số thực . đơn vị số ảo, và là một hàm nhận giá trị phức.

Biến đổi nghịch đảo của nó cũng có dạng tương tự. Nếu hàm được định nghĩa như trên, và hàm liên tục bậc vô hạn, khi đó :

cho tất cả các số thực .

Hệ số chuẩn hóaSửa đổi

Dạng tổng quátSửa đổi

Các tính chấtSửa đổi

Biến đổi của các hàm thông dụngSửa đổi

Bản sau đây ghi lại một số biến đổi Fourier quan trọng. GH ký hiệu biến đổi Fourier của hàm số g(t) và h(t), theo thứ tự đó. gh có thể là hàm khả tích hoặc là phân bố.

Các mối liên quanSửa đổi

Tín hiệu Biến đổi Fourier
unitary, tần số góc
Biến đổi Fourier
unitary, tần số thường
Chú thích
   

 
 

 
101       Tuyến tính
102       dịch trong thời gian
103       dịch trong tần số, đối ngẫu của 2
104       Nếu   lớn, thì   tập trung xung quanh 0 và   trải rộng ra và phẳng dần. Để ý đến giới hạn của giá trị này khi   ra vô cực - hàm số delta.
105       Tính chất đối ngẫu của biến đổi Fourier. Kết quả từ việc hoán đổi biến   .
106       Đạo hàm tổng quát của biến đổi Fourier
107       Đối ngẫu của 106
108         denotes the convolution of   and   — this rule is the convolution theorem
109       This is the dual of 108
110   is purely real, and an even function   and   are purely real, and even functions
111   is purely real, and an odd function   and   are purely imaginary, and odd functions

Các hàm bình phương khả tíchSửa đổi

Signal Fourier transform
unitary, angular frequency
Fourier transform
unitary, ordinary frequency
Remarks
   

 
 

 
201       The rectangular pulse and the normalized sinc function
202       Dual of rule 201. The rectangular function is an idealized low-pass filter, and the sinc function is the non-causal impulse response of such a filter.
203       tri is the triangular function
204       Dual of rule 203.
205       Shows that the Gaussian function   is its own Fourier transform. For this to be integrable we must have  .
206       common in optics
207      
208      
209       a>0
210       the transform is the function itself
211       J0(t) is the Bessel function of first kind of order 0
212       it's the generalization of the previous transform; Tn (t) is the Chebyshev polynomial of the first kind.
213    
  
 
  
Un (t) is the Chebyshev polynomial of the second kind
214       Hyperbolic secant is its own Fourier transform

DistributionsSửa đổi

Signal Fourier transform
unitary, angular frequency
Fourier transform
unitary, ordinary frequency
Remarks
   

 
 

 
301         denotes the Dirac delta distribution.
302       Dual of rule 301.
303       This follows from and 103 and 302.
304       Follows from rules 101 and 303 using Euler's formula:  
305       Also from 101 and 303 using  
306       Here,   is a natural number.   is the  -th distribution derivative of the Dirac delta. This rule follows from rules 107 and 302. Combining this rule with 1, we can transform all polynomials.
307       Here   is the sign function; note that this is consistent with rules 107 and 302.
308       Generalization of rule 307.
309       The dual of rule 307.
310       Here   is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101 and 309.
311         is the Heaviside unit step function and  .
312       The Dirac comb — helpful for explaining or understanding the transition from continuous to discrete time.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi