Gọi f là một hàm liên tục trên tập số thực. Khi ấy tích phân lặp thứ n của f tại a :
f
(
−
n
)
(
x
)
=
∫
a
x
∫
a
σ
1
⋯
∫
a
σ
n
−
1
f
(
σ
n
)
d
σ
n
⋯
d
σ
2
d
σ
1
{\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}
có thể được tính bằng công thức
f
(
−
n
)
(
x
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}
Chứng minh Một chứng minh đơn giản sử dụng quy nạp . Do f liên tục, trường hợp n = 1định lý cơ bản của giải tích :
d
d
x
f
(
−
1
)
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}
trong đó
f
(
−
1
)
(
a
)
=
∫
a
a
f
(
t
)
d
t
=
0.
{\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0.}
Giả sử điều này đúng với n , và ta cần chứng minh nó đúng với n + 1quy tắc tích phân Leibniz , ta có
d
d
x
[
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
]
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}
Sau đó, áp dụng giả thiết quy nạp,
f
−
(
n
+
1
)
(
x
)
=
∫
a
x
∫
a
σ
1
⋯
∫
a
σ
n
f
(
σ
n
+
1
)
d
σ
n
+
1
⋯
d
σ
2
d
σ
1
=
∫
a
x
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
σ
1
(
σ
1
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
d
σ
1
=
∫
a
x
d
d
σ
1
[
1
n
!
∫
a
σ
1
(
σ
1
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
]
d
σ
1
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
Chứng minh được hoàn tất.
Trong giải tích phân số , công thức này có thể được dùng để xây dựng khái niệm differintegral , cho phép ta đạo hàm hoặc tích phân với số lần là một phân số. Lấy tích phân lặp phân số lần với công thức này rất đơn giản; ta có thể dùng n phân số nếu coi (n -1)! là Γ(n ) (xem hàm gamma ). Lấy đạo hàm cấp phân số có thể được thực hiện bằng cách lấy tích phân phân số, rồi lấy đạo hàm kết quả đó.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d943b65df26d19f65202c10a7b5d0cc25198e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db103058193a1e3ecb95f3184030a86de2dba63)