Cấp số cộng

Trong toán học, một cấp số cộng (tiếng Anh: arithmetic progression hoặc arithmetic sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện: hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11,... là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2.

Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử của nó cũng được gọi là các số hạng.

Số hạng tổng quátSửa đổi

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử   và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

 

TổngSửa đổi

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có:

 

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a1 với an, của a2 với an-1,... Một câu chuyện kể rằng Gauß đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên (5050).

Chứng minh:

 
 
 
 .
 .

TíchSửa đổi

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử   với công sai  , với   số hạng là

   
 
 
 

trong đó   là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

 

Đây là tổng quát hoá từ tích   được ký hiệu là   tới tích của

 

với các số nguyên dương    cho bởi công thức

 

Còn   là ký hiệu của Hàm gamma.

 

(Công thức này không bao gồm trường hợp   là số âm hoặc không).

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi