Cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa độ.
Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cực trị hàm một biến
sửaĐịnh nghĩa
sửaCho hàm số xác định trên .
- là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại chứa sao cho . Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số
- là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại chứa sao cho . Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
- Cực trị của hàm số bao gồm các điểm cực đại và các điểm cực tiểu của hàm số đó
Tính chất 1
sửaCho hàm số xác định trên .
- chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm sao cho hoặc không tồn tại nhưng liên tục tại .
- Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua theo chiều tăng dần thì hàm số đạt cực tiểu tại
- Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua theo chiều tăng dần thì hàm số đạt cực đại tại
Tính chất 2
sửaCho hàm số và các giá trị sao cho .
- Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại
- Nếu thì hàm số đạt cực đại tại
- Nếu thì không thể kết luận được gì
Cực trị hàm nhiều biến
sửaĐiều kiện cần để hàm z= f(x1, x2,..., xn) có cực trị là dz = f1 dx1 + f2 dx2 +... + fn dxn = 0[1].
dz = 0 khi và chỉ khi f1 dx1 = f2 dx2 =... = fn dxn = 0
d2z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:
Từ ma trận H có các ma trận con , ,..., .
Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H1) < 0, det(H2) > 0, det(H3) < 0,..., (-1)n det(Hn) > 0[1]
Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H1), det(H2), det(H3),..., det(Hn) > 0[1]