Trong lý thuyết xác suất, chặn Chernoff, đặt tên theo Herman Chernoff, cho một chặn trên giảm theo hàm mũ của đuôi phân phối của tổng nhiều biến ngẫu nhiên độc lập. Nó thường mạnh hơn các bất đẳng thức sử dụng mômen bậc nhất hay bậc hai chẳng hạn như bất đẳng thức Markov hay bất đẳng thức Chebyshev.

Nó có liên hệ với bất đẳng thức Bernstein, và bất đẳng thức Hoeffding.

Sau đây là một ví dụ trường hợp đặc biệt của chặn Chernoff. Giả sử X1,..., Xn là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với xác suất p > 1/2. Khi đó, nếu gọi xác suất xảy ra ít nhất n/2 sự kiện P, thì

Chặn Chernoff cho thấy P có chặn dưới như sau:

Dưới đây, trường hợp này sẽ được tổng quát hóa theo nhiều hướng khác nhau. Có nhiều phiên bản khác nhau của chặn Chernoff: sai số có thể là sai số tuyệt đối hoặc sai số tương đối so với giá trị kỳ vọng.

Bước thứ nhất trong chứng minh của chặn ChernoffSửa đổi

Chặn Chernoff cho biến ngẫu nhiên X là tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập  , được chứng minh bằng cách xem xét phân bố của etX với giá trị thích hợp của t. Phương pháp này được áp dụng đầu tiên bởi Sergei Bernstein để chứng minh bất đẳng thức Bernstein.

Theo bất đẳng thức Markov và tính chất độc lập, ta có bất đẳng thức sau:

Với mọi t > 0,

 

Do có thể chọn t tùy ý, ta có

 

Tương tự như vậy,

 

Do đó,

 

Phát biểu và chứng minhSửa đổi

Trường hợp sai số tuyệt đốiSửa đổi

Định lý sau đây được chứng minh bởi Wassily Hoeffding và được gọi là định lý Chernoff-Hoeffding.

Giả sử các biến   là độc lập và có cùng phân bố. Giả sử  ,  , và  . Khi đó

 

 

trong đó

 

khoảng cách Kullback-Leibler giữa các biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số   .

Chứng minhSửa đổi

Chứng minh xuất phát từ bất đẳng thức (+) ở trên. Đặt  . Chọn a = mq và thay vào (+), ta có:

 

Do  ,  , ta có

 

Bằng cách lấy lôgarit và tính đạo hàm, ta có thể tính được giá trị infimum ở trên thông qua đạo hàm sau

 

Giải khi đạo hàm ở trên bằng 0 để tính infimum, ta có

 

nên  .

Do đó,  .

 , ta có  , nên giá trị của   là hợp lệ. Sau khi đã giải được  , ta thay giá trị này vào phương trình ở trên và thu được

 

Tóm lại, ta thu được kết quả cần chứng minh như sau

 

Để có bất đẳng thức thứ hai, ta xét các biến  , và áp dụng chứng minh tương tự.

Chặn đơn giản hơnSửa đổi

Có thể thu được một chặn đơn giản hơn bằng cách áp dụng  . Mệnh đề này có thể được chứng minh bằng tính chất lồi của   và tính chất  . Chặn này là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Hoeffding. Đôi khi chặn   cho   cũng được sử dụng.

Trường hợp sai số tương đốiSửa đổi

Giả sử   là các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị 0 hoặc 1. Giả sử  . Khi đó, nếu đặt    là giá trị kỳ vọng của  , thì với mọi  

 

Chứng minhSửa đổi

Theo (+),

 

Đẳng thức ở dòng thứ 3 là do   nhận giá trị   với xác suất   và giá trị   với xác suất  .

Viết lại    và áp dụng   (với bất đẳng thức chặt khi  ) cho  , ta có

 

Chọn   nên   khi  . Thay giá trị của   vào biểu thức trên, ta thu được

 

Đây chính là bất đẳng thức cần chứng minh. Bằng một chứng minh tương tự, ta có

 

Chặn Chernoff cho ma trậnSửa đổi

Rudolf AhlswedeAndreas Winter đã chứng minh một phiên bản của chặn Chernoff cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị ma trận.[1]

Xem thêmSửa đổi

Ghi chúSửa đổi

Tham khảoSửa đổi