Chứng minh e là số vô tỉ


Số e được Jacob Bernoulli giới thiệu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Euler, người từng là học trò của em trai Jacob, Johann, đã chứng minh rằng e là số vô tỉ; nghĩa là nó không thể được biểu thị bằng thương số của hai số nguyên.

Trong toán học, dạng khai triển số e của Euler

được dùng để chứng minh rằng esố vô tỉ. Dưới đây là phép chứng minh bằng phản chứng của Joseph Fourier.

Chứng minhSửa đổi

Giả sử rằng esố hữu tỉ. Khi đó tồn tại các số tự nhiên ab sao cho e = a/b.

Đặt

 

Thay e = a/b vào biểu thức bên trên ta được

 

Số hạng đầu tiên là số nguyên, các số hạng tiếp theo nguyên bởi vì nb, vậy nên x là số nguyên.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng 0 < x < 1. Thật vậy, thay e bằng dạng khai triển Euler ta được:

 

Với mọi nb + 1 ta có ước lượng bên dưới

 

và bất đẳng thức trở nên nghiệm ngặt với nb + 2. Thay từng đánh giá vào tổng và sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân vô hạn ta được

 

Vậy 0 < x < 1, mà không có số nguyên nào giữa 0 và 1, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, vậy e phải là số vô tỉ.

Tham khảoSửa đổi