Trong toán học , một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức , trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức
sửa
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle R[[X]]}
.
Cấu trúc vành
sửa
Một phần tử của
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle R[[X]]}
R
N
{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
(
a
n
)
n
∈
N
+
(
b
n
)
n
∈
N
=
(
a
n
+
b
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
và phép nhân
(
a
n
)
n
∈
N
×
(
b
n
)
n
∈
N
=
(
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
)
n
∈
N
.
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}
Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này,
R
N
{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
(
0
,
0
,
0
,
…
)
{\displaystyle (0,0,0,\ldots )}
(
1
,
0
,
0
,
…
)
{\displaystyle (1,0,0,\ldots )}
Cấu trúc tô pô
sửa
Theo qui ước
(
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
)
=
∑
i
=
0
∞
a
i
X
i
,
(
1
)
{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}
một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên
R
N
{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
Chúng ta có thể gán cho
R
N
{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
tô pô tích , với mỗi bản sao của
R
{\displaystyle R}
tô pô rời rạc .
Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt
(
a
n
)
,
(
b
n
)
∈
R
N
,
{\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}
d
(
(
a
n
)
,
(
b
n
)
)
=
2
−
k
,
{\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}
với
k
{\displaystyle k}
số tự nhiên nhỏ nhất sao cho
a
k
≠
b
k
{\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}
Lưu ý rằng trong
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}
lim
n
→
∞
(
1
+
X
n
)
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}
không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới
exp
(
X
)
=
∑
n
∈
N
X
n
n
!
.
{\displaystyle \exp(X)\ =\ \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}
Các phép toán khác
sửa
Lũy thừa
sửa
Với một số tự nhiên n ta có
(
∑
k
=
0
∞
a
k
X
k
)
n
=
∑
m
=
0
∞
c
m
X
m
,
{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}
trong đó
c
0
=
a
0
n
,
c
m
=
1
m
a
0
∑
k
=
1
m
(
k
n
−
m
+
k
)
a
k
c
m
−
k
,
m
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}
Nghịch đảo
sửa
Chuỗi
A
=
∑
n
=
0
∞
a
n
X
n
∈
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}
là khả nghịch trong
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle R[[X]]}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
B
{\displaystyle B}
b
0
=
1
a
0
,
b
n
=
−
1
a
0
∑
i
=
1
n
a
i
b
n
−
i
,
n
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}
Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle R[[X]]}
(
1
−
X
)
−
1
=
∑
n
=
0
∞
X
n
.
{\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}
Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức
f
(
X
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
X
n
=
a
1
X
+
a
2
X
2
+
⋯
{\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }
g
(
X
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
X
n
=
b
0
+
b
1
X
+
b
2
X
2
+
⋯
,
{\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,}
ta có thể định nghĩa phép hợp
g
(
f
(
X
)
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
(
f
(
X
)
)
n
=
∑
n
=
0
∞
c
n
X
n
,
{\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}
với
c
n
:=
∑
k
∈
N
,
|
j
|
=
n
b
k
a
j
1
a
j
2
⋯
a
j
k
.
{\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}
Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k ,j ) với
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
j
∈
N
+
k
{\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}
|
j
|
:=
j
1
+
⋯
+
j
k
=
n
.
{\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}
Đạo hàm hình thức
sửa
Cho một chuỗi lũy thừa hình thức
f
=
∑
n
≥
0
a
n
X
n
∈
R
[
[
X
]
]
,
{\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}
ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi
D
f
=
f
′
=
∑
n
≥
1
a
n
n
X
n
−
1
.
{\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}
Tính chất
sửa
Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức
sửa
Tính chất tô pô
sửa
Không gian metric
(
R
[
[
X
]
]
,
d
)
{\displaystyle (R[[X]],d)}
Vành
R
[
[
X
]
]
{\displaystyle R[[X]]}
compact khi và chỉ khi R là hữu hạn .
Tham khảo
sửa
Đọc thêm
sửa
![{\displaystyle R[[X]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc00b68cd3f2c0346dea47d276cea5331fa55159)
![{\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28096a142fdd25bcadca1db012a77605c0e51274)
![{\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cbec0d8af726df2beec6d063ac601f800afc97)
![{\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8f977d0e0948457a651e68daaf51628e4cdf21)
![{\displaystyle (R[[X]],d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3075cede0445026952397334388a0494a524b)