Một dàn là một cấu trúc trừu tượng được nghiên cứu trong các phân ngành toán học của lý thuyết thứ tự và đại số trừu tượng. Nó bao gồm một tập hợp được sắp thứ tự một phần trong đó mỗi cặp hai phần tử có một supremum duy nhất và một infimum duy nhất.

Một ví dụ là tập hợp các số tự nhiên, được sắp xếp một phần theo quan hệ chia hết, theo đó supremum duy nhất là bội số chung nhỏ nhất và infimum duy nhất là ước số chung lớn nhất. (Lưu ý rằng tập các số tự nhiên sắp xếp theo quan hệ thứ tự thông thường cũng là một dàn, với supremum duy nhất là số lớn hơn, infimum duy nhất là số nhỏ hơn).

Dàn các cặp số nguyên không âm, sắp thứ tự theo từng chiều.

Dàn như là một cấu trúc đại sốSửa đổi

 
Dàn các số dương.

Một cấu trúc đại số (L, ∨, ∧) bao gồm một tập hợp L và hai phép toán hai ngôi ∨ và ∧ trên L là một dàn nếu các tiên đề sau đây được thỏa mãn với mọi a, b, c thuộc L.

Luật giao hoán
ab = ba,
ab = ba.
Luật kết hợp
a ∨ (bc) = (ab) ∨ c,
a ∧ (bc) = (ab) ∧ c.
Luật hấp thụ
a ∨ (ab) = a,
a ∧ (ab) = a.

Hệ quả

Luật lũy đẳng
aa = a,
aa = a.

Hai phép toán hai ngôi này ứng với inf và sup. Chúng được gọi là nối và gặp.

Ví dụSửa đổi

  • Cho   là nhóm con của một nhóm  . Các nhóm con trung gian giữa    tạo thành một dàn.[1] Hai phép toán tương ứng là phép giao và phép sinh nhóm từ hợp của hai nhóm.
 
Dàn các phân hoạch của {1, 2, 3, 4}, sắp xếp theo độ mịn.
 
Dàn các ước số của 60, sắp xếp theo quan hệ bội.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Phan Hoàng Chơn (2005) tr. 193

Thư mụcSửa đổi

  • Phan Hoàng Chơn, 2005, Về nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chính quy von Neumann giao hoán chứa nhóm con các ma trận đường chéo, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học 2005:3 193-197, Đại học Quy Nhơn.
 
Dàn các tập con của {x, y, z}, sắp xếp theo quan hệ tập con.