Trong hình học vi phângiải tích tenxơ, các dạng vi phân là một công cụ tính toán hữu ích.

Biểu thức f(x) dx là một dạng vi phân bậc 1 (cũng viết là -dạng) và có thể được tích phân trên một đoạn thẳng định hướng [a, b] trong miền xác định của f:

Tương tự, biểu thức f(x, y, z) dxdy + g(x, y, z) dzdx + h(x, y, z) dydz là một 2-dạng có tích phân mặt trên một bề mặt định hướng S:

Ký hiệu biểu thị tích ngoài của hai dạng vi phân. Tương tự, một 3-dạng f(x, y, z) dxdydz đại diện cho một yếu tố thể tích có thể được tích phân trên một vùng không gian định hướng. Nói chung, một k-dạng là một đối tượng có thể được tích phân trên một đa tạp định hướng k chiều, và thuần nhất bậc k đối với các vi phân tọa độ.

Các dạng vi phân bậc trên một đa tạp tạo thành một không gian véc-tơ thực, thường được ký hiệu là . Theo quy ước, với , . Chúng tạo thành đại số ngoài .

Định lý StokesSửa đổi

Mối quan hệ cơ bản giữa vi phân và tích phân được cho bởi định lý Stokes: nếu ω là một (n-1)-dạng với giá compact trong M∂M ký hiệu biên của M với định hướng cảm sinh, ta có

Định nghĩaSửa đổi

Một cách hình thức, dạng vi phân tại một điểm   thường được định nghĩa là một phần tử của không gian véc-tơ  . Ví dụ, một dạng vi phân bậc nhất là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian véc-tơ tiếp tuyến  .

Ví dụSửa đổi

  • Trong  , tại  , ta có  .
  • Vẫn trong trong  , tại  , ta có  .

Một dạng vi phân trên một tập mở   thường được yêu cầu là liên tục, khả vi bậc  , hoặc trơn (tương tự với hàm số liên tục, hàm số khả vi hay hàm trơn). Tức là nó là một nhát cắt liên tục, khả vi bậc   hoặc trơn của phân thớ véc-tơ  .

Ví dụSửa đổi

  • Trên  , ta có dạng vi phân  . Đây là một dạng vi phân trơn, đóng nhưng không khớp.

Với mỗi hệ tọa độ địa phương   trên một tập mở  , ta có một cơ sở   của phân thớ véc-tơ  , do đó mỗi dạng vi phân bậc nhất xác định trên   có thể được viết dưới dạng  , với   là các hàm số liên tục, khả vi bậc   hoặc trơn. Tương tự, với các dạng vi phân bậc cao hơn, ta có một cơ sở  .[1]

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Warner, Frank (1971), tr. 62, định nghĩa 2.14

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

  • Weisstein, Eric W., "Dạng vi phân" từ MathWorld.
  • Sjamaar, Reyer (2006), Manifolds and differential forms lecture notes, Cornell University.
  • Bachman, David (2003), A Geometric Approach to Differential Forms, arXiv:math/0306194, Bibcode:2003math......6194B.
  • Jones, Frank, Integration on manifolds (PDF)