Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn .

Danh sách các dấu hiệu hội tụSửa đổi

Giới hạn của các số hạngSửa đổi

Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là   thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

Dấu hiệu tỉ sốSửa đổi

Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.

Giả sử tồn tại một số   sao cho
 
Nếu r < 1 thì chuỗi là hội tụ tuyệt đối. Nếu r > 1 thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1 thì chưa thể kết luận, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Dấu hiệu cănSửa đổi

Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc n hay tiêu chuẩn căn Cauchy.

Đặt
 
trong đó   ký hiệu cho giới hạn trên (có thể là  ; nếu tồn tại giới hạn nó là cùng một giá trị).
Nếu r < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lớn hơn thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1 thì chưa thể có kết luận từ dấu hiệu căn, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng.[1] Ví dụ, với chuỗi

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4,

sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.[cần dẫn nguồn]

Tiêu chuẩn tích phânSửa đổi

Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho   là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho  . Nếu tích phân vô định

 
thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi   hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.

Dấu hiệu p-chuỗiSửa đổi

Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số  . Vậy thì chuỗi   hội tụ khi và chỉ khi  .

Trường hợp   ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp  bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến  . Tổng quát, với  , chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với   tức là  .

Tiêu chuẩn so sánh trực tiếpSửa đổi

Nếu chuỗi   là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng   với n đủ lớn, thì chuỗi   cũng hội tụ tuyệt đối.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạnSửa đổi

Nếu  , (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn   tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì   phân kỳ khi và chỉ khi   phân kỳ.

Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Tiêu chuẩn Cauchy cô đọngSửa đổi

Cho   là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn   hội tụ khi và chỉ khi tổng   hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức   được thỏa mãn.

Dấu hiệu hội tụ tuyệt đốiSửa đổi

Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ.

Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấuSửa đổi

Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

  •  
  • với mọi n,  .

Vậy    là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.

Dấu hiệu AbelSửa đổi

Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

  1.   là một chuỗi hội tụ,
  2.   là một dãy đơn điệu, và
  3.   bị chặn.

Vậy thì chuỗi   cũng hội tụ.

Dấu hiệu DirichletSửa đổi

Nếu   là một dãy số thực  là một dãy số phức thỏa mãn

  •  
  •  
  •   với mọi số nguyên dương N

trong đó M là một hằng số, thì chuỗi

 

hội tụ.

Dấu hiệu hội tụ Raabe–DuhamelSửa đổi

Cho dãy  .

Định nghĩa dãy

 

Nếu giới hạn

 

tồn tại thì có ba khả năng:

  • nếu L > 1 thì chuỗi hội tụ
  • nếu L < 1 thì chuỗi phân kỳ
  • còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σan là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho

 

với mọi n > K thì chuỗi Σan hội tụ.

Dấu hiệu BertrandSửa đổi

Cho { an } là một dãy số dương.

Định nghĩa

 

Nếu tồn tại giới hạn

 

thì có ba khả năng:[2][3]

  • nếu L > 1 thì chuỗi Σan hội tụ
  • nếu L < 1 thì chuỗi Σan phân kỳ
  • còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Dấu hiệu GaussSửa đổi

Cho { an } là một dãy số dương. Nếu   với một số β > 1, thì   hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1.[4]

Chú ýSửa đổi

  • Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourierdấu hiệu Dini.

Thí dụSửa đổi

Xét chuỗi

 

Theo tiêu chuẩn Cauchy cô đọng, (*) hội tụ hữu hạn khi

 

cũng hội tụ hữu hạn. Bởi

 

(**) là một chuỗi hình học với công bội  . (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là  ). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi  .

Sự hội tụ của tíchSửa đổi

Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho   là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn   hội tụ khi và chỉ khi chuỗi   hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn  , thì   tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi   hội tụ.

Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.[5]

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Wachsmuth, Bert G. “MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test”. www.mathcs.org.
  2. ^ František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Bertrand's Test”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 16 tháng 4 năm 2020.
  4. ^ * Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Gauss criterion”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  5. ^ Belk, Jim (ngày 26 tháng 1 năm 2008). “Convergence of Infinite Products”.

Đọc thêmSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi