Giới hạn Singleton

Trong lý thuyết mã hóa, giới hạn Singleton, đặt theo tên của Richard Collom Singleton, là một giới hạn trên cho kích thước của mã khối với độ dài , kích thước , và khoảng cách (mỗi mã tự có độ dài , dùng để biểu diễn một thông điệp có độ dài , và hai mã tự khác nhau có ít nhất ký hiệu khác nhau).

Phát biểu của giới hạn SingletonSửa đổi

Khoảng cách của một tập   bao gồm các mã tự có độ dài   được định nghĩa như sau:

 

trong đó  khoảng cách Hamming giữa   . Biểu thức   biểu diễn số lượng mã tự tối đa của một mã khối có độ dài  , khoảng cách  , và sử dụng ký hiệu trong một bảng chữ cái kích thước  .

Giới hạn Singleton khẳng định rằng

 

Chứng minhSửa đổi

Trước hết, ta nhận thấy có   chuỗi độ dài   gồm các ký kiệu trong một bảng chữ cái kích thước  , do mỗi ký kiệu có   lựa chọn khác nhau, độc lập với các ký hiệu còn lại.

Giả sử   là một mã có khoảng cách  . Rõ ràng mọi mã tự   là khác nhau. Nếu ta xóa   ký hiệu đầu tiên của mỗi mã tự thì chúng vẫn khác nhau do khoảng cách Hamming giữa các mã tự ban đầu là ít nhất  . Do đó số lượng mã tự khác nhau sau khi xóa là không đổi.

Các mã tự mới có chiều dài

 

và do đó có tối đa

 

mã tự khác nhau. Do đó số mã tự khác nhau trong mã   cũng được giới hạn bởi

 

Mã MDSSửa đổi

Mã khối đạt đến giới hạn Singleton gọi là mã MDS (viết tắt tiếng Anh - maximum distance separable). Một vài ví dụ của mã MDS bao gồm mã chỉ có đúng một mã tự (khoảng cách  ), mã sử dụng toàn bộ   (khoảng cách 1), mã sử dụng đúng 1 bit chẵn lẻ (khoảng cách 2) và mã đối ngẫu của nó. Các mã này gọi là các mã MDS "tầm thường".

Trong trường hợp bảng chữ cái nhị phân, chỉ có các mã MDS tầm thường.[1]

Một vài ví dụ không tầm thường của mã MDS bao gồm mã Reed-Solomon và các phiên bản mở rộng của nó.[2]

Xem thêmSửa đổi

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ xem, chẳng hạn, Vermani (1996), Mệnh đề 9.2.
  2. ^ xem, chẳng hạn, MacWilliams và Sloane, Ch. 11.

Tham khảoSửa đổi

  • R.C. Singleton (1964). “Maximum distance q-nary codes”. IEEE Trans. Inf. Theory. 10: 116–118. doi:10.1109/TIT.1964.1053661.

Đọc thêm