Hàm đếm số nguyên tố

Trong toán học, hàm đếm số nguyên tốhàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực x. [1] Nó được ký hiệu là π (x) (không liên quan đến số π).

Các giá trị của π (n) cho 60 số nguyên dương đầu tiên

Lịch sửSửa đổi

Mối quan tâm lớn của lý thuyết số là tốc độ tăng trưởng của hàm đếm số nguyên tố.[2][3] Nó được GaussLegendre phỏng đoán vào cuối thế kỷ 18 là xấp xỉ với

 

theo nghĩa

 

Phát biểu này là nội dung của định lý số nguyên tố. Một tuyên bố tương đương là

 

Trong đó li là hàm tích phân logarit. Định lý số nguyên tố được Jacques HadamardCharles de la Vallée Poussin chứng minh lần đầu tiên vào năm 1896 một cách độc lập, sử dụng các thuộc tính của hàm Riemann zeta do Riemann giới thiệu vào năm 1859. Cách chứng minh định lý số nguyên tố không sử dụng hàm zeta hoặc giải tích phứ đã được Atle SelbergPaul Erdős tìm ra vào khoảng năm 1948 (hầu hết các phần này đều được họ tìm ra hoàn toàn độc lập với nhau).[4]

Ước tính chính xác hơn về   bây giờ đã được biết đến; ví dụ [cần dẫn nguồn]

 

trong đó Oký hiệu O lớn. Đối với hầu hết các giá trị của   chúng ta quan tâm đến (tức là khi   không lớn quá mức)   lớn hơn  . Tuy nhiên,   được biết là thay đổi dấu hiệu vô hạn nhiều lần. Để thảo luận về điều này, xem số Skewes.

Dạng chính xácSửa đổi

Bernhard Riemann đã chứng minh rằng hàm đếm số nguyên tố chính xác là [5]

 

trong đó

 ,

μ(n) là hàm Mobius, li(x) là hàm số tích phân logarit, ρ đánh dấu mỗi giá trị zero của hàm zeta Riemann, và li(xρ/n) không được đánh giá với một nhánh rẽ nhưng thay vì coi là Ei(ρ/n ln x). Một cách tương đương, nếu các giá trị 0 tầm thường được thu thập và tổng được lấy chỉ qua các giá trị 0 không tầm thường ρ của hàm zeta Riemann, sau đó π(x) có thể được viết thành

 .

Giả thuyết Riemann gợi ý rằng với mỗi giá trị 0 không tầm thường thì Re(s) = 1/2

Bảng của π (x), x / ln x và li (x)Sửa đổi

Bảng này cho thấy ba hàm số π (x), x / ln x và li(x) so sánh ở các giá trị mũ của 10. Xem thêm,[2][6][7][8]

 
Đồ thị hiển thị tỷ lệ của hàm đếm số nguyên tố π (x) với hai giá trị gần đúng của nó, x / ln x và Li (x). Khi x tăng (lưu ý trục x là logarit), cả hai tỷ lệ đều dẫn về 1. Tỷ lệ của x/ln x (phía trên) hội tụ rất chậm, trong khi tỷ lệ của Li(x) (phía dưới) hội tụ nhanh hơn.
x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x) x / ln x % Error
10 4 −0.3 2.2 2.500 -7.5%
102 25 3.3 5.1 4.000 13.20%
103 168 23 10 5.952 13.69%
104 1,229 143 17 8.137 11.64%
105 9,592 906 38 10.425 9.45%
106 78,498 6,116 130 12.740 7.79%
107 664,579 44,158 339 15.047 6.64%
108 5,761,455 332,774 754 17.357 5.78%
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667 5.10%
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975 4.56%
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283 4.13%
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590 3.77%
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896 3.47%
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202 3.21%
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507 2.99%
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812 2.79%
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116 2.63%
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420 2.48%
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725 2.34%
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028 2.22%
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332 2.11%
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636 2.02%
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939 1.93%
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 17,146,907,278 54.243 1.84%
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 55,160,980,939 56.546 1.77%
1026 1,699,246,750,872,437,141,327,603 28,883,358,936,853,188,823,261 155,891,678,121 58.850 1.70%
1027 16,352,460,426,841,680,446,427,399 267,479,615,610,131,274,163,365 508,666,658,006 61.153 1.64%

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5. 
  2. ^ a ă “How many primes are there?”. Chris K. Caldwell. Truy cập ngày 2 tháng 12 năm 2008. 
  3. ^ Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2. 
  4. ^ Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory . Springer. ISBN 0-387-97329-X. 
  5. ^ “The Fluctuations of the Prime-counting Function pi(x)”. www.primefan.ru. Truy cập ngày 17 tháng 5 năm 2019. 
  6. ^ “Tables of values of pi(x) and of pi2(x)”. Tomás Oliveira e Silva. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2008. 
  7. ^ “Values of π(x) and Δ(x) for various values of x.”. Andrey V. Kulsha. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2008. 
  8. ^ “A table of values of pi(x)”. Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2008.