Hàm số f(x) xác định trên [a, b] được gọi là tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt hay đồng biến) nếu với và x1 < x2 ta có (tương ứng f(x1) < f(x2)). Tương tự được gọi là giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt hay nghịch biến) nếu với , x1 < x2 ta có (tương ứng f (x1) > f(x2)).

Những hàm số tăng hoặc giảm trên [a, b] được gọi là đơn điệu trong đoạn đó. Với trường hợp tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt thì được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt.

Ví dụ: Hàm số không đơn điệu trên (-∞, +∞), mặc dù nghịch biến trong (-∞, 0] và đồng biến trong [0, +∞).

Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của một hàm số người ta tìm đạo hàm của nó, nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì nó đồng biến trong khoảng đó, trong trường hợp âm thì ngược lại hàm số nghịch biến.

Tính chấtSửa đổi

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Tính chất 1Sửa đổi

Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói :

  • Hàm số y= f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi cặp  ,  thuộc K mà   nhỏ hơn   thì   nhỏ hơn  , tức là :  
  • Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp  ,  thuộc K mà   nhỏ hơn   thì   lớn hơn  , tức là:  

Tính chất 2Sửa đổi

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên K.

  • Nếu   thì hàm số y=f(x) đồng biến trên K
  • Nếu   thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên K

Mở rộng tính chấtSửa đổi

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu   và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

Nếu   và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

Tham khảoSửa đổi

Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Toán 9, tập 1

Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Đại số 10.

Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.

Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Giải tích 12.

Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao.