Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (ε, δ) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như , , các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:

  1. Một ánh xạ f là liên tục theo nghĩa tô pô.
  2. Với mọi điểm x trong X, và với mọi dãy trong X hội tụ tới x, tạo ảnh của dãy này bởi f hội tụ tới f(x). (tính chất này cũng được gọi là liên tục theo nghĩa dãy).

Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.

Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

Sự hội tụ của một hàm sốSửa đổi

 
Với mọi  ,   nằm trong lân cận   của  
 
Với   dao động trong lân cận   của   thì hàm   dao động trong khoảng   của  

Giả sử  hàm số thực,   là hằng số. Ký hiệu   có nghĩa là   tiến gần đến   khi   tiến gần về  . Có thể đọc là "Giới hạn của hàm   khi   tiến gần đến    ".

Lưu ý: Hàm   có thể không cần xác định tại  

Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo   như sau:

Hàm số   hội tụ về   nếu  ,   sao cho  

Ví dụSửa đổi

Cho  

Thì   không xác định, khi cho   tiến gần về 1 thì   tiến gần về 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 ⇒ không xác định ⇐ 2.001 2.010 2.100

Do đó,   có thể tiến gần đến giới hạn của 2 ngay khi   gần đến 1.

Mặt khác,  

Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi   với mọi số thực  .

  liên tục theo   tại 1 nên có thể thay   để được  .

Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét

 
  •   = 1.9900
  •   = 1.9990
  •  = 1.99990

Khi   thật sự lớn, giá trị của   tiến về 2. Trong trường hợp này, giới hạn của   khi   tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,

 

Sự hội tụ của một dãySửa đổi

 
Hình biểu diễn sự hội tụ của dãy   khi  
 
Sự hội tụ của dãy Cauchy

Trong không gian tôpô  , dãy   hội tụ về   nếu với mỗi lân cận mở   của   thì có một số nguyên dương   sao cho  . Khi đó   là điểm giới hạn của dãy   và viết

 

[1]

Ví dụSửa đổi

  • Nếu   với   là hằng số thì  .
  • Nếu   thì  .
  • Nếu   khi   chẵn và   khi   lẻ thì  .

Tính chấtSửa đổi

  • Nếu    thì  ,  .
  • Giới hạn của một dãy là duy nhất
  •  
  •  
  •  
  •   với  
  •  
  • Nếu   với mọi   lớn hơn   thì  

Sự hội tụ của một lướiSửa đổi

Lưới   được gọi là hội tụ về   (  là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận   của   tồn tại một chỉ số   (  là tập được định hướng) sao cho   thì  . Điểm   được gọi là điểm giới hạn của lưới   và thường viết  .[2]

Tập được định hướngSửa đổi

Tập được định hướng là một tập có thứ tự   sao cho: Với 2 phần tử  , luôn có phần tử   lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử  . Ký hiệu:  ,   

LướiSửa đổi

Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập được định hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian   (với tập chỉ số là tập được định hướng  ) là một ánh xạ  . Ta viết   và ký hiệu lưới  . Ký hiệu   cũng thường được sử dụng.

Ví dụSửa đổi

  • Tập số tự nhiên   với quan hệ thứ tự   là một tập định hướng.
  • Cho   là một không gian tôpô và  . Lấy   là họ các lân cận mở của  . Định nghĩa trên tập  :  . Lúc đó   trở thành tập có định hướng.
  • Những lưới có tập chỉ số   với thứ tự thông thường là một dãy.
  • Sự hội tụ của những lưới có tập chỉ số   với thứ tự thông thường là sự hội tụ của dãy.
  • Lấy   với tôpô  . Lưới   hội tụ về   . Lưới   hội tụ về  .

Các phát biểu liên quan đến hội tụ trong không gian tôpôSửa đổi

  • Điểm   được gọi là điểm giới hạn của tập con     có một lưới trong   hội tụ về  .
  • Cho   là hai không gian tôpô. Ánh xạ  liên tục tại     Nếu một lưới   hội tụ về   thì lưới   hội tụ về  .
  • Nếu  không gian Hausdorff thì mọi lưới trong   có nhiều nhất một điểm giới hạn.

Đọc thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi