Infimum và supremum

Trong toán học, infimum (viết tắt inf) của một tập con S trong một tập hợp sắp thứ tự một phần T là phần tử lớn nhất trong T nhỏ hơn hoặc bằng tất cả các phần tử của S, nếu một phần tử như vậy tồn tại.[1] Ta cũng nói chặn dưới lớn nhất.

Một tập hợp T gồm các số thực (các vòng tròn rỗng và đầy), một tập hợp con S của T (các vòng tròn được lấp đầy) và infimum của S. Lưu ý rằng đối với các tập hợp hữu hạn, infimum và giá trị cực tiểu (cũng như supremum và giá trị cực đại) là như nhau.
Một tập hợp A gồm các số thực (vòng tròn màu xanh), một tập hợp chặn trên của A (kim cương và vòng tròn đỏ) chặn dưới nhỏ nhất, cũng là supremum của A (kim cương đỏ).

Supremum (viết tắt sup) của tập con S trong T là phần tử nhỏ nhất trong T lớn hơn hoặc bằng tất cả các phần tử của S, nếu một phần tử như vậy tồn tại. Ta cũng nói chặn trên nhỏ nhất.

Infimum còn được gọi là cận dưới đúng hoặc gặp; và supremum còn được gọi là cận trên đúng hoặc nối.

Định nghĩaSửa đổi

Một chặn dưới của một tập con S trong một tập hợp sắp thứ tự một phần   là một phần tử a của P sao cho

  • ax với mọi x thuộc S.

Một chặn dưới a của S được gọi là một infimum của S nếu

  • với mọi chặn dưới y của S trong P, ya.

Một chặn trên của một tập con S trong một tập hợp sắp thứ tự một phần   là một phần tử b của P sao cho

  • bx với mọi x trong S.

Một chặn trên b của S được gọi là supremum của S nếu

  • với mọi chặn trên z của S trong P, zb.

Sự tồn tại và tính duy nhấtSửa đổi

Không phải lúc nào infimum và supremum cũng tồn tại.

Tuy nhiên, nếu infimum hay supremum tồn tại, thì nó là duy nhất.

Quan hệ với phần tử tối đại và phần tử tối tiểuSửa đổi

Infimum của S trong P, nếu tồn tại, không nhất thiết phải là một phần tử của S. Nếu nó là một phần tử của S, nó là phần tử tối tiểu hay nhỏ nhất của S. Tương tự, nếu supremum của S là một phần tử của S, nó là phần tử tối đaị hoặc lớn nhất của S.

Chặn trên tối tiểuSửa đổi

Một tập hợp được sắp thứ tự một phần có thể có nhiều chặn trên tối tiểu mà không có chặn trên nhỏ nhất.

Chặn trên tối tiểu là một chặn trên mà không có chặn trên nào nhỏ hơn hẳn nó nữa. Nói chung, vì tập hợp chỉ được sắp thứ tự một phần, ta không thể so sánh các chặn trên tối tiểu với nhau, do đó chặn trên nhỏ nhất không nhất thiết phải tồn tại.

Tương tự, một tập hợp được sắp thứ tự một phần có thể có nhiều chặn dưới tối đại mà không có chặn dưới lớn nhất.

Infimum và supremum của số thựcSửa đổi

Tính đầy đủ của các số thực nói rằng bất kỳ tập con khác rỗng bị chặn S nào của các số thực đều có infimum và supremum.

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ Rudin, Walter (1976)

Tham khảoSửa đổi