Mở trình đơn chính

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.

Sơ lược về không gian định chuẩnSửa đổi

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩnSửa đổi

Cho Ekhông gian vectơ trên trường số   và ánh xạ  

Ta nói   là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:

 ,
  nếu x là 1 vector.
 
 

Nếu   là chuẩn trên E, ta nói   là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn). [1]

Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức:   và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.

Một số ví dụ về chuẩnSửa đổi

  • Không gian   với các metric:
     
     2 2 1/2
     

lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

 
 2 2 1/2
 
  • Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn   sau;

Khi p=1;

 

Khi  ;

 

Khi  ;

 
  • Không gian các hàm liên tục f từ   vào   và khả tích với chuẩn   sau;

Khi n=1;

 

Khi  ;

 

Khi  ;

 

Trong đó

 
 ,
 

Các định nghĩa, định lý liên quan khácSửa đổi

Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metricSửa đổi

Cho  không gian mêtric, ta nói chuẩn   tạo bởi metric   tức là:

 ,   

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóngSửa đổi

Cho   là không gian định chuẩn;   .

 

 

Khi đó ta gọi    lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm   bán kính r trong   [2]

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mậtSửa đổi

Cho   là không gian định chuẩn;   .

Ta nói:

  là tập mở trong   nếu có họ các quả cầu mở   trong   sao cho:

 .

  là tập đóng trong   nếu   là tập mở trong  .

  là tập bị chặn trong   nếu có quả cầu đóng   trong   sao cho:

 .[3]

  là tập trù mật trong   nếu   [4]

Liên tụcSửa đổi

Cho   là tập con trong không gian định chuẩn     .

Ta nói:

  liên tục tại   nếu  ,   sao cho  , ,  

  liên tục trên   nếu   liên tục tại mọi   [5]

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

  liên tục trên   nếu và chỉ nếu với mọi tập mở   trong   có tập mở   trong   sao cho

  [6]

Dãy hội tụ, CauchySửa đổi

Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt  ;   và cho  .

Khi đó   là dãy trong  .

Dãy  dãy hội tụ về   trong   nếu và chỉ nếu:

 , ta tìm được   sao cho  

Lúc đó,   là giới hạn của dãy  .

Dãy  dãy Cauchy trong   nếu và chỉ nếu:

 , ta tìm được   sao cho  

Nếu dãy   là dãy hội tụ trong   thì nó sẽ Cauchy trong  .

Nếu mọi dãy   Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn   thì  không gian Banach.[7]

Ví dụ:

Dãy   trong   \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong  \ 0 với không gian định chuẩn   ( ).

Chuẩn tương đươngSửa đổi

Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau: Cho 2 chuẩn   trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại   sao cho:

 

với mọi   [8]

Ví dụ Với các chuẩn sau trên   sau:

 
 
 

trong đó  . Ta có:

 

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, trang 9
  2. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.8, trang 11
  3. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 11
  4. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 12
  5. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.11, trang 13
  6. ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 13
  7. ^ ương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 10
  8. ^ Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008, trang 55

Tham khảoSửa đổi

  • Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008
  • Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005
  • Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology [1]. Ho Chi Minh city University of Science