Không gian phủ

Trong tô pô, đặc biệt là tô pô đại số, không gian phủ là một quan hệ giữa hai không gian tô pô đồng phôi địa phương. Trong số các không gian phủ, không gian phủ phổ dụng là một không gian phủ đặc biệt quan trọng: nó là vật phổ dụng trong phạm trù các không gian phủ liên thông của một không gian tô pô cho trước.

Một ánh xạ phủ.

Định nghĩaSửa đổi

Đặt   là một không gian tô-pô. Một không gian phủ của   là một không gian tô-pô   cùng với một toàn ánh liên tục

 

sao cho với mọi  , có một lân cận mở   của    (nghịch ảnh của   bởi  ) là một hợp rời các tập mở trong  , mà mỗi trong số đó đồng phôi với   qua  .[1][2]

Tương đương, một không gian phủ của   có thể được định nghĩa là một phân thớ   với các thớ rời rạc.

Ánh xạ   được gọi là ánh xạ phủ,[2] không gian   thường được gọi là không gian cơ sở của phủ và không gian   được gọi là không gian toàn thể của phủ.

Ví dụSửa đổi

  •   là không gian phủ phổ dụng của  
  • Mặt cầu   phủ không gian xạ ảnh  . Với  , đây là một phủ phổ dụng.

Phủ phổ dụngSửa đổi

Một không gian phủ là một không gian phủ phổ dụng nếu nó liên thông đơn (i.e. nếu nó liên thông và nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường). Tên phổ dụng xuất phát từ thuộc tính quan trọng sau: nếu ánh xạ q: DX là phủ phổ dụng của không gian X và ánh xạ p: CX là bất kỳ phủ nào của không gian X với C liên thông, thì tồn tại một phủ f: DC sao cho pf = q. Tức là

Phủ phổ dụng phủ mọi phủ liên thông.

Thuộc tính nângSửa đổi

Định lý - Đặt   là một phủ. Giả sử   là một không gian liên thông và   là một ánh xạ liên tục. Với mọi nâng   của ánh xạ   (i.e.  ), ta có   hoặc   với mọi  [3]

Nói riêng, nếu ta cố định một nghịch ảnh   và một phần tử   sao cho  , có nhiều nhất là một nâng thỏa mãn  .[4] Không phải lúc nào nâng cũng tồn tại: một ví dụ là ta không thể nâng ánh xạ đồng nhất   qua phủ  . Tuy nhiên trong trường hợp   là một đoạn, nâng tồn tại và là duy nhất.[5]

Định lý GaloisSửa đổi

Quan hệ với groupoidSửa đổi

Hàm tử groupoid cơ bản cho ta một tương đương phạm trù

 

giữa phạm trù các phủ của một không gian tô-pô X (giả sử X thỏa mãn một thuộc tính nào đó) và phạm trù các phủ groupoid của π1(X).

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ Chernavskii 2001
  2. ^ a b Munkres 2000
  3. ^ Manetti (2014), tr. 208, Theorem 12.25
  4. ^ Manetti (2014), tr. 208, Corollary 12.26
  5. ^ Manetti (2014), tr. 208, Theorem 12.27

Tham khảoSửa đổi

  • Chernavskii, A.V. (2001), “Covering”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Manetti, Marco (2014). Topology, ISBN 978-3-319-16958-3
  • Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản 2.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0131816292.Quản lý CS1: ref=harv (liên kết)