Không gian thương (tô pô)

Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, không gian thương (quotient topology) của một không gian tô pô theo một quan hệ tương đương (hai ngôi) là một không gian tô pô mới, được xây dựng bằng cách gán tô pô thương cho tập hợp thương tương ứng, tức là tô pô mịn nhất sao cho các phép chiếu chuẩn tắc trở thành liên tục.[1] Nói cách khác, một tập hợp trong không gian thương là mở khi và chỉ khi tạo ảnh của nó là mở trong không gian ban đầu.[1]

Hình cầu đồng phôi với không gian thương của một hình tròn, bằng cách dán tất cả các điểm biên của hình tròn với nhau thành một điểm.
đồng phôi với đường tròn .

Nói một cách trực quan, các điểm tương đương với nhau trong quan hệ tương đương sẽ được dính lại thành một điểm trong không gian thương. Ví dụ, nếu ta coi hai điểm đối xứng trên mặt cầu là tương đương với nhau, ta sẽ thu được một không gian thương là mặt phẳng xạ ảnh.[2]

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là một không gian tô pô, và   là một quan hệ tương đương trên    nhắc lại, một quan hệ toán học 2 ngôi   trên một tập   là một tập con của  , nghĩa là

    . Tập hợp thương   là tập hợp gồm tất cả các lớp tương đương trên   theo quan hệ   . Thông thường, lớp tương đương của một phần tử   được ký hiệu là  , hoặc  , hoặc  , nghĩa là:

      [3]
 
  • Không gian thương   được trang bị tô pô thương:[1]
 

là tô pô mà các tập mở là các tập   thỏa mãn tập   là mở trong  .

  • Một cách tương đương, các tập mở của không gian thương   là các tập   sao cho dưới toàn ánh
 
          

nghịch ảnh   là mở trong  .

Ánh xạ thương (quotient map)Sửa đổi

  • Một ánh xạ   được gọi là ánh xạ thương (identification map) nếu nó toàn ánh và  .

Một cách tương đương,   là ánh xạ thương     toàn ánh và   đươc trang bị tô pô cuối cùng theo  .

  • Cho   là một không gian tô pô với quan hệ tương đương   . Khi đó ánh xạ chính tắc (canonical map)   là một ánh xạ thương.

Ví dụSửa đổi

  • Phép dán (gluing). Các nhà tô pô học thường nói về việc dán các điểm lại với nhau. Cho không gian tô pô  , dán 2 điểm   trong   có nghĩa là ta xét không gian thương thu được từ quan hệ tương đương   hoặc   hoặc  .
  • Xét hình vuông đơn vị với quan hệ tương đương   sinh bởi điều kiện tất cả các điểm biên đều tương đương, do đó ta lập được 1 lớp tương đương gồm tất cả điểm biên của  . Khi đó  , với   là một mặt cầu bất kỳ.
 
[liên kết hỏng] dụ,   đồng phôi với đường tròn  
  • Không gian mở rộng (adjunction space). Tổng quát, cho không gian tô pô  và không gian con   với  . Ta có thể gộp tất cả phần tử của   thành một lớp tương đương và tất cả các phần tử của   thành một lớp tương đương., nghĩa là
     
     

Khi đó, ta nhận được không gian thương được kí hiệu là  . Mặt cầu 2 chiều đồng phôi với một hình tròn đóng, với biên được xác định bởi đúng một điểm:  .

  • Xét không gian   với tô pô Euclide, với quan hệ tương đương  . Khi đó   đồng phôi với đường tròn đơn vị   qua phép đồng phôi  .
  • Tổng quát hóa của ví dụ trước: cho   là một nhóm tô pô tác động liên tục lên không gian tô pô  . Xét quan hệ tương đương trong   bởi  , với   là quỹ đạo của   bởi tác động liên tục của   lên tập hợp tất cả nhóm con của  . Khi đó   được gọi là không gian quỹ đạo (orbit space), kí hiệu là  . Trong ví dụ trước,   tác động tịnh tiến lên  . Không gian quỹ đạo   đồng phôi với  .

Ghi chú:   là một khái niệm vẫn còn mơ hồ. Nếu hiểu theo nghĩa   là một nhóm với phép cộng tác động lên   thì không gian thương đồng phôi với đường tròn. Nếu hiểu theo nghĩa   là một không gian con của   thì không gian thương đồng phôi với vô hạn đếm được cánh hoa giao nhau tại 1 điểm.

Tính chấtSửa đổi

  • Cho   là một không gian thương của  . Ánh xạ thương  , là đặc trưng trong các toàn ánh do tính chất sau:
 
Sơ đồ hợp nối ánh xạ giữa các không gian   

cho không gian tô pô   , khi đó   liên tục    liên tục.

  • Không gian thương   cùng với ánh xạ thương   được đặc trưng bởi tính phổ dụng (universal property) : nếu ánh xạ  là liên tục và thỏa mãn  , thì khi đó       sao cho  . Ta nói   là một ánh xạ hạn chế thương. Do đó, các ánh xạ liên tục được xác định trên   chính là các ánh xạ được sinh bởi các ánh xạ liên tục được xác định trên   theo quan hệ tương đương (theo nghĩa là chúng gửi các phần tử tương đương vào cùng một tạo ảnh). Tiêu chí này được sử dụng nhiều khi nghiên cứu không gian thương.
  • Cho toàn ánh liên tục  . Ta có thể đặt câu hỏi với điều kiện nào thì   là một ánh xạ thương ? Điều kiện đủ là   ánh xạ mở (điều này tương đương với   ánh xạ đóng). Lưu ý rằng đây là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (nhắc lại: cho 2 mệnh đề P và Q, nếu P đúng   Q đúng thì P là điều kiện đủ của Q và Q là điều kiện cần của P) Ta có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ về ánh xạ thương mà không phải là ánh xạ mở. Đối với các nhóm tô pô, ánh xạ thương là ánh xạ mở.

Tương quan với các khái niệm tô pô khácSửa đổi

Sự tách (separation)

  • Nói chung, hệ tiên đề tách là không đúng đối với các không gian thương. Không gian thương   không nhất thiết kế thừa các tính chất tách của  , và   có thể có những tính chất tách mà   không có.
  •   là không gian     mọi lớp tương đương là đóng trong  .
  • Nếu ánh xạ thương là ánh xạ mở, thì   là Hausdorff     là một tập con đóng trong không gian tích   với   là tô pô tích (nhác lại, một quan hệ toán học 2 ngôi   trên một tập   là một tập con của  , nghĩa là    ).

Tính liên thông (connectedness)

  • Nếu một không gian là liên thông (hoặc liên thông đường) thì mọi không gian thương của nó cũng liên thông (hoặc liên thông đường)
  • Nếu một không gian là đơn liên (hoặc co rót được-contractible space) thì không gian thương của nó không nhất thiết có các tính chất đó.

Tính compact

Số chiều (Dimension)

  1. ^ a b c Manetti (2014), tr. 90
  2. ^ Manetti (2014), tr. 95
  3. ^ Manetti (2014), tr. 30

Thư mụcSửa đổi

  • Manetti, Marco (2014). Topology. ISBN 978-3-319-16958-3.

Liên kết ngoàiSửa đổi

Đọc thêmSửa đổi