Khoảng cách Euclid

Trong toán học, khoảng cách Euclid (tiếng Anh: Euclidean distance) giữa hai điểm trong không gian Euclid là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Nó có thể được tính từ tọa độ Cartesian của hai điểm bằng cách sử dụng định lý Pytago, và do đó đôi khi còn được gọi là khoảng cách Pytago (tiếng Anh: Pythagorean distance). Hai danh pháp trên được đặt theo tên của hai nhà toán học Hy Lạp cổ đại EuclidPythagoras, dù Euclid không dùng số để chỉ khoảng cách, và mối liên hệ giữa định lý Pytago với việc tính khoảng cách chưa được thiết lập cho đến thế kỷ 18.

Áp dụng định lý Pytago để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học không phải là điểm thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đối tượng đó. Có một số công thức đã biết để tính khoảng cách giữa các dạng đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Trong toán học nâng cao, khái niệm khoảng cách được khái quát hóa sang không gian mêtric trừu tượng, và một số loại khoảng cách khác ngoài khoảng cách Euclid cũng đã được nghiên cứu. Ở một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa, bình phương khoảng cách Euclid được sử dụng thay vì chính khoảng cách đó.

Các công thức khoảng cáchSửa đổi

Một chiềuSửa đổi

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên trục sốgiá trị tuyệt đối của hiệu tọa độ của chúng. Như vậy, với hai điểm    trên trục số, khoảng cách giữa chúng được cho bởi:[1]

 

Một công thức phức tạp hơn, cho cùng kết quả với công thức trên nhưng dễ khái quát hóa hơn sang không gian nhiều chiều, là:[1]

 

Trong công thức này, phép bình phương và lấy căn bậc hai không làm thay đổi giá trị của một số dương, nhưng thay một số âm bất kỳ bằng giá trị tuyệt đối của nó.[1]

Hai chiềuSửa đổi

Trong mặt phẳng Euclid, cho điểm  tọa độ Cartesian  và điểm   có tọa độ  . Khi đó khoảng cách giữa    được tính bằng:[2]

 

Công thức trên được suy ra bằng cách áp dụng định lý Pytago cho một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ và cạnh huyền là đoạn thẳng nối hai điểm   . Hai biểu thức được bình phương bên trong dấu căn cho giá trị là diện tích hình vuông dựng từ cạnh góc vuông tương ứng, và dấu căn ở ngoài cùng chuyển diện tích hình vuông dựng từ cạnh huyền thành độ dài của cạnh huyền.[3]

Ngoài ra, cũng có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ cực của chúng. Nếu tọa độ cực của    và tọa độ cực của   , thì khoảng cách giữa chúng là:[2]

 

Khi    là hai điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, công thức giống với công thức khoảng cách giữa hai điểm trên trục số có thể được sử dụng:[4]

 

Nhiều chiềuSửa đổi

 
Áp dụng nhiều lần định lý Pytago để suy ra công thức khoảng cách Euclid trong không gian   chiều

Trong không gian ba chiều, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Cartesian cho trước, khoảng cách giữa chúng là:

 

Tổng quát, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Cartesian cho trước trong không gian Euclid   chiều, khoảng cách giữa chúng là:[5]

 

Đối tượng hình học khácSửa đổi

Với hai đối tượng hình học không phải đều là điểm, khoảng cách thường được định nghĩa một cách đơn giản là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đối tượng đó, mặc dù một vài dạng khái quát hóa từ điểm sang tập hợp cũng được sử dụng phổ biến, chẳng hạn như khoảng cách Hausdorff.[6] Một số công thức tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau bao gồm:

Tính chấtSửa đổi

Khoảng cách Euclid là một ví dụ cơ bản về khoảng cách trong không gian mêtric,[9] và thỏa mãn các tính chất sau đây của một không gian mêtric:[10]

  • Nó có tính đối xứng, nghĩa là với mọi điểm    bất kỳ thì  . Điều đó có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào việc điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.[10]
  • Nó có tính phân biệt dương, nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kỳ luôn là một số dương, trong khi khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến chính nó bằng 0.[10]
  • Nó thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: với ba điểm  ,    bất kỳ thì  . Về mặt trực quan, độ dài của đường đi từ điểm   đến điểm   qua điểm   không thể ngắn hơn so với độ dài đường đi trực tiếp từ   đến  .[10]

Một tính chất khác, bất đẳng thức Ptolemy, có liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm  ,  ,   . Theo đó

 

Với bốn điểm trên mặt phẳng, có thể diễn đạt lại bất đẳng thức trên như sau: với một tứ giác bất kỳ, tổng của tích giữa mỗi cặp cạnh đối tương ứng luôn là một số không nhỏ hơn tích độ dài hai đường chéo của nó. Tuy nhiên, bất đẳng thức Ptolemy có thể được áp dụng một cách tổng quát cho các điểm trong không gian Euclid với số chiều bất kỳ, không phụ thuộc vào việc chúng được sắp xếp như thế nào.[11] Hình học khoảng cách Euclid nghiên cứu các tính chất của khoảng cách Euclid, trong đó có bất đẳng thức Ptolemy, và ứng dụng của chúng trong việc kiểm tra xem một tập hợp khoảng cách cho trước có đến từ những điểm trong một không gian Euclid hay không.[12]

Bình phương khoảng cách EuclidSửa đổi

Mặt nón, đồ thị của khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ trong mặt phẳng
Paraboloid, đồ thị của bình phương khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ

Trong nhiều trường hợp, đặc biệt là khi so sánh khoảng cách, một cách thuận tiện hơn là bỏ qua bước lấy căn bậc hai trong phép tính khoảng cách Euclid. Khi đó, kết quả thu được được goi là bình phương khoảng cách Euclid.[13] Nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương:

 

Ngoài ứng dụng trong so sánh khoảng cách, bình phương khoảng cách Euclid còn đóng vai trò quan trọng trong thống kê, tại đó nó được áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp để xác định đường khớp với dữ liệu bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách trung bình giữa giá trị quan sát và giá trị ước lượng.[14] Phép cộng giữa các bình phương khoảng cách với nhau, giống như khi được áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, tương ứng với một phép toán trên khoảng cách (chưa bình phương) được gọi là phép cộng Pytago.[15] Trong phân tích cụm, bình phương khoảng cách có thể được áp dụng để làm tăng độ ảnh hưởng đối với khoảng cách dài hơn.[13]

Bình phương khoảng cách Euclid không tạo thành không gian mêtric vì nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.[16] Tuy nhiên, nó là hàm lồi hoàn toàn và trơn của hai điểm, không giống với khoảng cách, vốn là một hàm không trơn (gần các cặp điểm bằng nhau) và là hàm lồi nhưng không phải là hàm lồi hoàn toàn. Bình phương khoảng cách do đó được ưu tiên áp dụng trong lý thuyết tối ưu hóa toán học, vì nó cho phép sử dụng lý thuyết giải tích lồi. Vì hàm bình phương là một hàm số đơn điệu cho giá trị không âm, việc tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách cũng giống với việc tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách Euclid, nên bài toán tối ưu hóa về mặt cách giải nào cũng đều tương đồng nhau, nhưng sẽ dễ giải hơn khi sử dụng bình phương khoảng cách.[17]

Tập hợp tất cả bình phương khoảng cách giữa các cặp điểm từ một tập hữu hạn có thể được lưu trữ trong ma trận khoảng cách Euclid, và thường được sử dụng dưới dạng này trong hình học khoảng cách.[18]

Khái quát hóaSửa đổi

Trong toán học cao cấp, khi xem không gian Euclid là một không gian vectơ, khoảng cách của nó có liên hệ tương ứng với một chuẩn được gọi là chuẩn Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của một vectơ từ gốc tọa độ. Một trong những tính chất quan trọng của chuẩn này, có quan hệ với các chuẩn khác trong toán học, là nó vẫn không đổi ngay cả khi không gian được quay theo một góc bất kỳ quanh điểm gốc.[19] Theo định lý Dvoretzky, đối với một không gian định chuẩn với số chiều hữu hạn, tồn tại một không gian con với số chiều lớn mà chuẩn của nó gần bằng với chuẩn Euclid; chuẩn Euclid là chuẩn duy nhất có tính chất này.[20] Nó có thể được mở rộng sang không gian vectơ vô hạn chiều, chẳng hạn như không gian L2 hoặc khoảng cách L2.[21]

Một số loại khoảng cách khác trên không gian Euclid và không gian vectơ ít chiều bao gồm:[22]

Với những điểm trong một bề mặt ở không gian ba chiều, khoảng cách Euclid cần phải được phân biệt với khoảng cách trắc địa, độ dài của một đường cong ngắn nhất thuộc bề mặt đó. Đặc biệt, để đo khoảng cách cung vòng lớn trên Trái Đất hoặc mặt cầu hay mặt tựa cầu khác, một số loại khoảng cách được sử dụng bao gồm khoảng cách haversine cho biết khoảng cách cung vòng lớn giữa hai điểm trong mặt cầu khi biết kinh độ và vĩ độ của chúng, và công thức Vincenty còn được gọi là "khoảng cách Vincenty" đối với khoảng cách trong một hình phỏng cầu.[23]

Lịch sửSửa đổi

Khoảng cách Euclid là khoảng cách trong không gian Euclid; cả hai danh pháp này đều được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid, tác giả của bộ Cơ sở vốn đã trở thành sách giáo khoa hình học tiêu chuẩn trong nhiều thế kỷ.[24] Khái niệm về độ dàikhoảng cách rất phổ biến qua các nền văn hóa, có thể xuất hiện sớm nhất trong các tài liệu quan liêu thời kỳ Protoliterate từ Sumer vào thiên niên kỷ thứ tư trước Công nguyên (rất xa trước thời Euclid),[25] và có giả thuyết cho rằng chúng phát triển ở trẻ sớm hơn so với hai khái niệm liên quan là tốc độ và thời gian.[26] Nhưng khái niệm về khoảng cách, dưới dạng một số được xác định từ hai điểm, không thực sự xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid. Thay vào đó, Euclid tiếp cận khái niệm này theo cách gián tiếp, thông qua tính tương đẳng của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài đoạn thẳng, và thông qua khái niệm tỉ lệ thuận.[27]

Định lý Pytago cũng là một định lý toán học cổ đại, nhưng nó chỉ đóng vai trò quan trọng trong việc đo khoảng cách sau khi tọa độ Cartesian được René Descartes phát minh vào năm 1637. Công thức khoảng cách được Alexis Clairaut xuất bản lần đầu tiên vào năm 1731.[28] Do công thức này nên khoảng cách Euclid đôi khi còn được gọi là khoảng cách Pytago.[29] Mặc dù các phép đo khoảng cách lớn trên bề mặt Trái Đất, vốn không phải là khoảng cách Euclid, đã được nghiên cứu một lần nữa tại nhiều nền văn hóa từ sau thời cổ đại, ý tưởng rằng khoảng cách Euclid có thể không phải là cách duy nhất để đo khoảng cách giữa các điểm trong không gian toán học xuất hiện muộn hơn, với sự hình thành của hình học phi Euclid vào thế kỷ 19.[30] Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid đối với hình học nhiều hơn ba chiều cũng xuất hiện lần đầu vào thế kỷ 19 trong công trình của Augustin-Louis Cauchy.[31]

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ a ă â Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, tr. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
  2. ^ a ă Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
  3. ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
  4. ^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), “3.1.1 The Distance Between Two Points”, Complex Numbers from A to ... Z (ấn bản 2), Birkhäuser, tr. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
  5. ^ Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, tr. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
  6. ^ Ó Searcóid, Mícheál (2006), “2.7 Distances from Sets to Sets”, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, tr. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8
  7. ^ a ă Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (tháng 4 năm 1952), “Distance from a line, or plane, to a point”, Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514
  8. ^ Bell, Robert J. T. (1914), “49. The shortest distance between two lines”, An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (ấn bản 2), Macmillan, tr. 57–61
  9. ^ Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, tr. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
  10. ^ a ă â b Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, tr. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
  11. ^ Adam, John A. (2017), “Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays”, Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, tr. 26–27, doi:10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4
  12. ^ Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, tr. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
  13. ^ a ă Spencer, Neil H. (2013), “5.4.5 Squared Euclidean Distances”, Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, tr. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
  14. ^ Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis, Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, tr. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
  15. ^ Moler, Cleve and Donald Morrison (1983), “Replacing Square Roots by Pythagorean Sums” (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651, doi:10.1147/rd.276.0577
  16. ^ Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), “Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science”, trong Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (biên tập), Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, tr. 7–27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2
  17. ^ Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, tr. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
  18. ^ Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory, Springer, tr. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
  19. ^ Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011), Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System, John Wiley & Sons, tr. 106, ISBN 978-3-527-63457-6
  20. ^ Matoušek, Jiří (2002), Lectures on Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, tr. 349, ISBN 978-0-387-95373-1
  21. ^ Ciarlet, Philippe G. (2013), Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, tr. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
  22. ^ Klamroth, Kathrin (2002), “Section 1.1: Norms and Metrics”, Single-Facility Location Problems with Barriers, Springer Series in Operations Research, Springer, tr. 4–6, doi:10.1007/0-387-22707-5_1
  23. ^ Panigrahi, Narayan (2014), “12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty's Formula”, Computing in Geographic Information Systems, CRC Press, tr. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9
  24. ^ Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval, Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
  25. ^ Høyrup, Jens (2018), “Mesopotamian mathematics” (PDF), trong Jones, Alexander; Taub, Liba (biên tập), The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science, Cambridge University Press, tr. 58–72
  26. ^ Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), “The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement”, Developmental Psychology, 17 (4): 490–493, doi:10.1037/0012-1649.17.4.490
  27. ^ Henderson, David W. (2002), “Review of Geometry: Euclid and Beyond by Robin Hartshorne”, Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 563–571, doi:10.1090/S0273-0979-02-00949-7
  28. ^ Maor, Eli (2019), The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton University Press, tr. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6
  29. ^ Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H. (tháng 3 năm 1970), “Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli”, Perception & Psychophysics, 7 (2): 103–107, doi:10.3758/bf03210143, S2CID 144797925
  30. ^ Milnor, John (1982), “Hyperbolic geometry: the first 150 years”, Bulletin of the American Mathematical Society, 6 (1): 9–24, doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8, MR 0634431
  31. ^ Ratcliffe, John G. (2019), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (ấn bản 3), Springer, tr. 32, ISBN 978-3-030-31597-9