Khoảng cách số nguyên tố

Khoảng cách số nguyên tố là khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Khoảng cách thứ n, ký hiệu bởi g_n hay g(p_n) là khoảng cách giữa số nguyên tố thứ (n + 1) và số nguyên tố thứ n, hay nói cách khác:

Phân phối tần suất khoảng cách số nguyên tố cho các số nguyên tố lên tới 1.6 tỷ. Các cực đại đều là bội của 6.

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\$

Ta có g₁ = 1, g₂ = g₃ = 2, và g₄ = 4. Dãy (g_n) của khoảng cách số nguyên tố hiện vẫn đang được nghiên cứu kỹ lưỡng, song nhiều bài toán và giả thuyết vẫn còn chưa được chứng minh.

Danh sách 60 khoảng cách số nguyên tố đầu tiên:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (dãy số A001223 trong bảng OEIS).

Theo định nghĩa của g_n, mọi số nguyên tố đều có thể viết thành

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.$

Quan sát đầu tiên

Khoảng cách số nguyên tố nhỏ nhất và duy nhất là số lẻ là khoảng cách 1 giữa 2, số nguyên tố chẵn duy nhất, và 3, số nguyên tố lẻ đầu tiên. Mọi khoảng cách số nguyên tố khác đều là số chẵn. Chỉ có duy nhất một cặp hai khoảng cách số nguyên tố liên tục bằng 2: khoảng cách g₂ và g₃ giữa ba số nguyên tố 3, 5, và 7.

Vói bất kỳ số nguyên n, giá trị giai thừa n! là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 tới n. Sau đó, xét dãy

$n!+2,n!+3,\ldots ,n!+n$

Dễ nhận thấy phần tử đầu tiên chia hết cho 2, phần tử thứ hai chia hết cho 3, và tiếp tục như vậy. Do đó, đây là dãy n − 1 hợp số liên tiếp, và nó phải thuộc khoảng cách giữa hai số nguyên tố có độ dài ít nhất n. Điều này có nghĩa khoảng cách số nguyên tố có thể lớn tùy ý, hay nói dưới công thức: với bất kỳ số nguyên N, tồn tại số nguyên m sao cho g_m ≥ N.

Tuy nhiên, khoảng cách số nguyên tố với độ dài n có thể xảy ra ở các số nhỏ hơn n!. Lấy ví dụ chẳng hạn, khoảng cách số nguyên tố đầu tiên có độ dài lớn hơn 14 nằm giữa 523 và 541, trong khi 15! là số cực kỳ lớn, 1307674368000.

Các kết quả số học

Thường thì tỷ lệ của ^g_n ∕_ln(pn) được gọi là merit của khoảng cách g_n . Tính đến ngày 25 tháng 2 năm 2022, khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số có thể nguyên tố có độ dài 6966714, bao gồm 208296 chữ số của số có thể nguyên tố và merit M = 14.5395, được phát hiện bởi Michiel Jansen dùng phần mềm sàng phát triển bởi J. K. Andersen.. Trong khi đó, khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số nguyên tố đã được chứng minh có độ dài bằng 1113106 và merit = 25.90, với 18662 chữ số trong số nguyên tố, phát hiện bởi P. Cami, M. Jansen và J. K. Andersen.

Tính đến tháng 12 năm 2017, giá trị merit lớn nhất và đầu tiên lớn hơn 40, phát hiện bởi mạng Gapcoin, là 41.93878373 với số nguyên tố 87 chữ số: 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Khoảng cách số nguyên tố của số này với số nguyên tố ngay sau đó là 8350.

Các giá trị merit đã được tính (tính đến tháng 10 năm 2020)

Merit	gn	Số chữ số	pn	Năm	Người phát hiện
41.938784	8350	87	xem trên	2017	Gapcoin
39.620154	15900	175	3483347771 × 409#/30 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38.066960	18306	209	650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
38.047893	35308	404	100054841 × 953#/210 − 9670	2020	Seth Troisi
37.824126	8382	97	512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen

Tỷ lệ Cramér–Shanks–Granville được tính bằng tỷ lệ g_n / (ln(p_n))². Nếu ta bỏ đi tỷ lệ cao thất thường của các số nguyên tố 2, 3, 7, thì giá trị lớn nhất tính theo tỷ lệ này là 0.9206386 cho số nguyên tố 1693182318746371. Các giá trị khác có thể được xem ở  A111943.

Ta gọi g_n là khoảng cách tối đại, nếu g_m < g_n với mọi m < n. Tính đến tháng 8 năm 2018, khoảng cách tối đại lớn nhất được biết có độ dài 1550, và được tìm thấy bởi Bertil Nyman. Nó là khoảng cách tối đại thứ 80, xuất hiện ngay sau số nguyên tố 18361375334787046697. Các khoảng cách tối đại khác được ghi trong  A005250, còn các số nguyên tố tương ứng p_n nằm trong  A002386, và các giá trị n nằm trong  A005669. Dãy các khoảng cách tối đại cho tới số nguyên tố thứ n được giả thuyết có khoảng $2\ln n$ phần tử (xem bảng dưới).

80 khoảng cách tối đại đã biết

Từ 1 đến 27 # gn pn n 1 1 2 1 2 2 3 2 3 4 7 4 4 6 23 9 5 8 89 24 6 14 113 30 7 18 523 99 8 20 887 154 9 22 1,129 189 10 34 1,327 217 11 36 9,551 1,183 12 44 15,683 1,831 13 52 19,609 2,225 14 72 31,397 3,385 15 86 155,921 14,357 16 96 360,653 30,802 17 112 370,261 31,545 18 114 492,113 40,933 19 118 1,349,533 103,520 20 132 1,357,201 104,071 21 148 2,010,733 149,689 22 154 4,652,353 325,852 23 180 17,051,707 1,094,421 24 210 20,831,323 1,319,945 25 220 47,326,693 2,850,174 26 222 122,164,747 6,957,876 27 234 189,695,659 10,539,432

Từ 28 đến 54 # gn pn n 28 248 191,912,783 10,655,462 29 250 387,096,133 20,684,332 30 282 436,273,009 23,163,298 31 288 1,294,268,491 64,955,634 32 292 1,453,168,141 72,507,380 33 320 2,300,942,549 112,228,683 34 336 3,842,610,773 182,837,804 35 354 4,302,407,359 203,615,628 36 382 10,726,904,659 486,570,087 37 384 20,678,048,297 910,774,004 38 394 22,367,084,959 981,765,347 39 456 25,056,082,087 1,094,330,259 40 464 42,652,618,343 1,820,471,368 41 468 127,976,334,671 5,217,031,687 42 474 182,226,896,239 7,322,882,472 43 486 241,160,624,143 9,583,057,667 44 490 297,501,075,799 11,723,859,927 45 500 303,371,455,241 11,945,986,786 46 514 304,599,508,537 11,992,433,550 47 516 416,608,695,821 16,202,238,656 48 532 461,690,510,011 17,883,926,781 49 534 614,487,453,523 23,541,455,083 50 540 738,832,927,927 28,106,444,830 51 582 1,346,294,310,749 50,070,452,577 52 588 1,408,695,493,609 52,302,956,123 53 602 1,968,188,556,461 72,178,455,400 54 652 2,614,941,710,599 94,906,079,600

Từ 55 đến 80 # gn pn n 55 674 7,177,162,611,713 251,265,078,335 56 716 13,829,048,559,701 473,258,870,471 57 766 19,581,334,192,423 662,221,289,043 58 778 42,842,283,925,351 1,411,461,642,343 59 804 90,874,329,411,493 2,921,439,731,020 60 806 171,231,342,420,521 5,394,763,455,325 61 906 218,209,405,436,543 6,822,667,965,940 62 916 1,189,459,969,825,483 35,315,870,460,455 63 924 1,686,994,940,955,803 49,573,167,413,483 64 1,132 1,693,182,318,746,371 49,749,629,143,526 65 1,184 43,841,547,845,541,059 1,175,661,926,421,598 66 1,198 55,350,776,431,903,243 1,475,067,052,906,945 67 1,220 80,873,624,627,234,849 2,133,658,100,875,638 68 1,224 203,986,478,517,455,989 5,253,374,014,230,870 69 1,248 218,034,721,194,214,273 5,605,544,222,945,291 70 1,272 305,405,826,521,087,869 7,784,313,111,002,702 71 1,328 352,521,223,451,364,323 8,952,449,214,971,382 72 1,356 401,429,925,999,153,707 10,160,960,128,667,332 73 1,370 418,032,645,936,712,127 10,570,355,884,548,334 74 1,442 804,212,830,686,677,669 20,004,097,201,301,079 75 1,476 1,425,172,824,437,699,411 34,952,141,021,660,495 76 1,488 5,733,241,593,241,196,731 135,962,332,505,694,894 77 1,510 6,787,988,999,657,777,797 160,332,893,561,542,066 78 1,526 15,570,628,755,536,096,243 360,701,908,268,316,580 79 1,530 17,678,654,157,568,189,057 408,333,670,434,942,092 80 1,550 18,361,375,334,787,046,697 423,731,791,997,205,041

Các kết quả khác

Cận trên

Theo định đề Bertrand được chứng minh vào năm 1852, luôn có số nguyên tố nằm giữa k và 2k, tức là p_n +1 < 2p_n, đồng thời nghĩa là g_n < p_n .

Định lý số nguyên tố được chứng minh trong 1896, phát biểu rằng độ dài trung bình của khoảng cách giữa số nguyên tố p và số nguyên tố tiếp theo sẽ tiến dần theo tiệm cận tới ln(p) (lôgarit tự nhiên của số p) cho số nguyên tố p đủ lớn. Độ dài thực tế của khoảng cách có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị này. Song, ta vẫn có thể suy ra từ định lý số nguyên tố cận trên của độ dài khoảng cách số nguyên tố.

Cho mọi $\epsilon >0$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi $n>N$

$g_{n}<p_{n}\epsilon$.

Ta có thể suy ra khoảng cách số nguyên tố sẽ nhỏ dần đi tuỳ ý tương xứng với các số nguyên tố: tức là thương

$\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.$

Hoheisel (1930) là người đầu tiên tìm ra rằng tồn tại hằng số θ < 1 sao cho

$\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ khi }}x\to \infty ,$

do đó chứng minh được rằng

$g_{n}<p_{n}^{\theta },\,$

cho n đủ lớn.

Hoheisel thu về được kết quả khả thi 32999/33000 cho θ. Sau được cải tiến thành 249/250 bởi Heilbronn, và thành θ = 3/4 + ε, cho bất kỳ ε > 0, bởi Chudakov.

Một cải tiến lớn được đưa bởi Ingham,, người chứng minh rằng cho một số hằng số dương c,

Nếu $\zeta (1/2+it)=O(t^{c})$ thì $\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}$ cho bất kỳ $\theta >(1+4c)/(2+4c).$

Ở đây, O là ký hiệu O lớn, ζ ký hiệu hàm zeta Riemann và π là hàm đếm số nguyên tố. Bởi vì có thể chấp nhận bất kỳ c > 1/6, ta sẽ thu được θ là một số nào đó lớn hơn 5/8.

Một hệ quả trực tiếp từ kết quả của Ingham là sẽ luôn có số nguyên tố nằm giữa n³ và (n + 1)³, nếu n đủ lớn. Phỏng đoán Lindelöf sẽ suy ra công thức của Ingham thoả mãn với mọi c dương: song thế này chưa đủ để chứng minh luôn có số nguyên tố nằm giữa n² và (n + 1)² cho n đủ lớn (xem giả thuyết Legendre). Để kiểm chứng điều này, ta cần một kết quả mạnh hơn như giả thuyết Cramér chẳng hạn.

Huxley trong 1972 đã chứng minh ta có thể chọn θ = 7/12 = 0.58(3).

Một kết quả khác từ Baker, Harman và Pintz trong 2001, đã chứng minh θ có thể là 0.525.

Trong 2005, Daniel Goldston, János Pintz và Cem Yıldırım đã chứng minh rằng

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0$

và sau 2 năm cải thiện nó thành to

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$

Trong 2013, Yitang Zhang đã chứng minh rằng

$\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},$

nghĩa là có vô số khoảng cách có độ dài không quá 70 triệu. Đến ngày 20 tháng 7 năm 2013, dự án Polymath đã nỗ lực hợp tác và tối ưu hoá rút cận trên của Zhang về 4680. Trong tháng 11 năm 2013, James Maynard giới thiệu phương pháp mịn hoá mới cho sàng GPY, cho phép ông rút gọn cận trên về 600 và chứng minh rằng cho bất kỳ m, tồn tại khoảng bị chặn có vô hạn số tịnh tiến mà mỗi cái trong đó có m số nguyên tố. Sử dụng các ý tưởng của Maynard, dự án Polymath đã cải tiến cận trên về 246; và nếu giả định giả thuyết Elliott–Halberstam hoặc dạng tổng quát của nó đúng, thì cận trên sẽ rút gọn về 12 hoặc 6, tương ứng.

Xem thêm

• Bất đẳng thức Bonse