Mở trình đơn chính
Sơ đồ biểu diễn của một loại với các đối tượng X, Y, Z và hình thái f, g, gf. (Ba hình thái nhận dạng của danh mục 1 X, 1 Y và 1 Z, nếu được trình bày rõ ràng, sẽ xuất hiện dưới dạng ba mũi tên, từ các chữ X, Y và Z tương ứng.)

Lý thuyết phạm trù [1] chính thức hóa cấu trúc toán học và các khái niệm của nó theo biểu đồ được định hướng có nhãn gọi là một thể loại, có các nút được gọi là các đối tượng và các cạnh có nhãn được gọi là mũi tên (hoặc hình thái). Một phạm trù có hai thuộc tính cơ bản: khả năng soạn thảo các mũi tên một cách kết hợp và sự tồn tại của một mũi tên nhận dạng cho mỗi đối tượng. Ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù đã được sử dụng để chính thức hóa các khái niệm về trừu tượng cấp cao khác như tập hợp, vànhnhóm. Một cách không chính thức, lý thuyết phạm trù là một lý thuyết chung về chức năng.

Một số thuật ngữ được sử dụng trong lý thuyết phạm trù, bao gồm thuật ngữ "hình thái", được sử dụng khác với cách sử dụng của chúng trong phần còn lại của toán học. Trong lý thuyết phạm trù, các hình thái tuân theo các điều kiện cụ thể đối với chính lý thuyết phạm trù.

Samuel EilenbergSaunders Mac Lane giới thiệu các khái niệm về loại, functors, và biến đổi tự nhiên trong nghiên cứu của họ về topo đại số thời gian từ từ 1942-1945, với mục tiêu tìm hiểu các quá trình bảo tồn cấu trúc toán học.

Lý thuyết phạm trù có các ứng dụng thực tế trong lý thuyết ngôn ngữ lập trình, ví dụ việc sử dụng các đơn nguyên trong lập trình chức năng. Nó cũng có thể được sử dụng như một nền tảng tiên đề cho toán học, như là một thay thế cho lý thuyết tập hợp và các nền tảng đề xuất khác.

Các khái niệm cơ bảnSửa đổi

Phạm trù đại diện cho trừu tượng của các khái niệm toán học khác. Nhiều lĩnh vực toán học có thể được chính thức hóa bằng lý thuyết phạm trù như là các phạm trù. Do đó lý thuyết phạm trù sử dụng sự trừu tượng để làm cho nó có thể phát biểu và chứng minh nhiều kết quả toán học phức tạp và tinh tế trong các lĩnh vực này một cách đơn giản hơn nhiều.[2]

Một ví dụ cơ bản của một danh mục là thể loại của các tập hợp, trong đó các đối tượng là các tập hợp và các mũi tên là các hàm từ bộ này sang bộ khác. Tuy nhiên, các đối tượng của một danh mục không cần phải được đặt và các mũi tên không cần là các hàm. Bất kỳ cách nào để chính thức hóa một khái niệm toán học sao cho nó đáp ứng các điều kiện cơ bản về hành vi của các đối tượng và mũi tên là một phạm trù hợp lệ và tất cả các kết quả của lý thuyết phạm tù đều áp dụng cho nó.

"Mũi tên" của lý thuyết phạm trù thường được cho là đại diện cho một quá trình kết nối hai đối tượng, hoặc trong nhiều trường hợp, một phép biến đổi "bảo toàn cấu trúc" kết nối hai đối tượng. Tuy nhiên, có nhiều ứng dụng trong đó các khái niệm trừu tượng hơn nhiều được đại diện bởi các đối tượng và hình thái. Thuộc tính quan trọng nhất của các mũi tên là chúng có thể được "sáng tác", nói cách khác, được sắp xếp theo thứ tự để tạo thành một mũi tên mới.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides 49 (ấn bản 2). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. 
  2. ^ Geroch, Robert (1985). Mathematical physics . Chicago: University of Chicago Press. tr. 7. ISBN 978-0-226-28862-8. Note that theorem 3 is actually easier for categories in general than it is for the special case of sets. This phenomenon is by no means rare.