Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel

Trong lý thuyết tập hợp, lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, được đặt theo tên của các nhà toán học Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel, là một hệ thống tiên đề được đề xuất vào đầu thế kỷ XX để xây dựng một lý thuyết tập hợp không còn các nghịch lý như nghịch lý Russell.

Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel thường được ký hiệu là ZF. Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel cùng với tiên đề chọn được ký hiệu là ZFC.

Các tiên đềSửa đổi

1. Tiên đề quảng tínhSửa đổi

Một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó[1]

 

2. Tiên đề chính tắcSửa đổi

Mọi tập không rỗng   chứa một phần tử   sao cho   rời nhau.

 [2]

3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề nội hàm)Sửa đổi

Ta có thể xây dựng một tập hợp   từ các phần tử   trong tập hợp   thỏa mãn các tính chất nhất định.[3] Cố định một tính chất  , ta có

 

4. Tiên đề cặpSửa đổi

Nếu    là các tập hợp thì tồn tại một tập hợp chứa    như các phần tử

 

Theo tiên đề quảng tính, tập hợp đó là duy nhất.[4]

5. Tiên đề hợpSửa đổi

 

6. Tiên đề thay thếSửa đổi

Tiên đề này được sử dụng trong quy nạp siêu hạn với số thứ tự.[5]

 

7. Tiên đề vô hạnSửa đổi

Đặt   là tập hợp  .Ta có[5]

 

Tiên đề này cho phép xây dựng các số tự nhiên liên tiếp và tập hợp các số tự nhiên.

8. Tiên đề tập hợp các bộ phậnSửa đổi

Tồn tại tập hợp các bộ phận, hay tập lũy thừa:[6]

 

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 32
  2. ^ Shoenfield (2001), tr. 239
  3. ^ Hoàng Xuân SÍnh (1972), tr.33
  4. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 34
  5. ^ a ă Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 36
  6. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 35

Tham khảoSửa đổi

  • Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, Nhà xuất bản Giáo dục
  • Shoenfield, Joseph R., Mathematical Logic (2nd ed.), 2001, A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.