Lũy thừa

Lũy thừa (tiếng Anh: Exponentiation) theo từ Hán-Việt: 累乘 có nghĩa là "nhân chồng chất lên". Luỹ thừa là một phép toán hai ngôi, được viết dưới dạng $a^{n}$, trong đó $a$ được gọi là "cơ số" và $n$ được gọi là "số mũ" hoặc "lũy thừa", và $a^{n}$ được đọc là "$a$ lũy thừa bậc $n$". Khi $n$ là một số nguyên không âm, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số hay thừa số: nghĩa là $a^{n}$ là $n$ số lần cơ số $a$ nhân với chính nó:

$$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a\times a} _{n{\text{ lần}}}.$$

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó, $a^{n}$ được gọi là "lũy thừa bậc $n$ của $a$", "$a$ lũy thừa $n$", hoặc hầu hết ngắn gọn là "$a$ mũ $n$". Ngoài ra $a^{2}$ ("$a$ luỹ thừa 2" hay "$a$ mũ 2") còn được gọi là "a bình phương" hoặc "bình phương của a", $a^{3}$ còn được gọi là "a lập phương" hoặc "lập phương của a".

Ta có $a^{1}=a$, và, với mọi số nguyên dương $m$ và $n$, ta có $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, $a^{0}$ (với a khác 0) được định nghĩa là 1, $a^{-n}$ (với $n$ là số nguyên dương và $a$ khác 0) được định nghĩa là 1/aⁿ. Đặc biệt, $a^{-1}$ bằng 1/a, nghịch đảo của $a$.

Định nghĩa về lũy thừa có thể được mở rộng để cho phép bất kỳ số mũ thực hoặc phức nào. Luỹ thừa theo số mũ nguyên cũng có thể được định nghĩa cho nhiều loại cấu trúc đại số, bao gồm cả ma trận.

Luỹ thừa được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm kinh tế học, sinh học, hóa học, vật lý và khoa học máy tính, với các ứng dụng như lãi kép, tăng dân số, động học phản ứng hóa học, hành vi sóng và mật mã khóa công khai.

Lịch sử ký hiệu

Thuật ngữ luỹ thừa trong tiếng Anh power được dịch là sức mạnh hay lực hoặc mũ (tiếng Latinh: potentia, potestas, dignitas) là cách dịch sai của tiếng Hy Lạp cổ δύναμις (dúnamis, ở đây: "khuếch đại") được sử dụng bởi nhà toán học Hy Lạp Euclid cho bình phương của một đường, sau Hippocrates of Chios. Trong cuốn The Sand Reckoner, Archimedes đã khám phá và chứng minh định luật số mũ, 10^a ⋅ 10^b = 10^a+b, cần thiết để sử dụng lũy thừa của 10. Vào thế kỷ thứ 9, nhà toán học người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī đã sử dụng thuật ngữ مَال (māl, "của cải", "tài sản") cho một số bình phương—người Hồi giáo, "giống như hầu hết các nhà toán học thời đó và thời gian trước đó, nghĩ về số bình phương như một mô tả của một khu vực, đặc biệt là đất đai, do đó là tài sản"—và كَعْبَة (kaʿbah, "lập phương") cho một số lập phương, mà các nhà toán học Hồi giáo sau này biểu diễn bằng ký hiệu toán học là các chữ cái mīm (m) và kāf (k), tương ứng, vào thế kỷ 15, như được thấy trong tác phẩm của Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī.

Vào cuối thế kỷ 16, Jost Bürgi đã sử dụng chữ số La Mã cho số mũ.

Nicolas Chuquet đã sử dụng một dạng ký hiệu hàm mũ vào thế kỷ 15, sau đó được Henricus Grammateus và Michael Stifel sử dụng vào thế kỷ 16. Từ exponent (số mũ) được đặt ra vào năm 1544 bởi Michael Stifel. Samuel Jeake đưa ra thuật ngữ indices (chỉ số) vào năm 1696. Vào thế kỷ 16, Robert Recorde sử dụng các thuật ngữ square (bình phương), cube (lập phương), zenzizenzic (lũy thừa bốn), sursolid (năm), zenzicube (sáu), sursolid thứ hai (bảy) và zenzizenzizenzic (tám). Biquadrate cũng được dùng để chỉ luỹ thừa bốn.

Đầu thế kỷ 17, dạng đầu tiên của ký hiệu hàm mũ hiện đại của chúng ta đã được René Descartes giới thiệu trong văn bản của ông có tựa đề La Géométrie; ở đó, ký hiệu được giới thiệu trong Quyển I.

Một số nhà toán học (chẳng hạn như Isaac Newton) chỉ sử dụng số mũ cho các lũy thừa lớn hơn hai, thích biểu diễn các số bình phương dưới dạng phép nhân lặp lại. Vì vậy, họ sẽ viết các đa thức, chẳng hạn như ax + bxx + cx³ + d.

Một từ đồng nghĩa lịch sử khác, involution ("sự xâm nhập"), hiện nay rất hiếm và không nên nhầm lẫn với nghĩa phổ biến hơn của nó.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa của 0 và 1

$0^{n}=0\,$(n > 0)

$1^{n}=1\,$

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}$

Các tính chất quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

$a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}$

$a^{m-n}=a^{m}:a^{n}$ $\forall$ a ≠ 0

$(a^{m})^{n}=a^{mn}$

$a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}$

$(ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Đặc biệt, ta có:

$a^{1}=a$

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

$a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}\neq (a^{m})^{n}=a^{(mn)}=a^{mn}$

Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.

Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là số âm.

Lũy thừa với số mũ 0

Lũy thừa với số mũ 0 của số a ≠ 0 được quy ước bằng 1.

$a^{0}=1$

Chứng minh:

$1={a^{n}}:{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}$

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm -n, a khác 0 và n là số nguyên dương là:

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$.

Ví dụ

$3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}={\frac {1}{81}}$.

Cách suy luận ra "lũy thừa với số mũ nguyên âm" từ "lũy thừa với số mũ 0":

$a^{0}=a^{n-n}={a^{n}}:{a^{n}}=a^{n}\cdot {\frac {1}{a^{n}}}=a^{n}\cdot a^{-n}$

Trường hợp đặc biệt: lũy thừa của số a ≠ 0 với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó.

$a^{-1}={\frac {1}{a}}.$

Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ

Căn bậc n của một số thực dương

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xⁿ = a.

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xⁿ = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là ⁿ√a, trong đó √  là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản b/c (b, c là số nguyên, trong đó c dương), của số thực dương a được định nghĩa là

$a^{\frac {b}{c}}=(a^{b})^{\frac {1}{c}}={\sqrt[{c}]{a^{b}}}$

Định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

$e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},$

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

$e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.$

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là e^k như sau:

$(e)^{k}=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}.$

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng e^x+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn

$b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},$

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

$x\approx 1,732$

thì

$5^{x}\approx 5^{1,732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16,241.$

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $\ln {(x)}$ là hàm ngược của hàm e-mũ e^x. Theo đó $\ln x$ là số b sao cho x = e^b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ^{ln a}

nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

$a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,$

Điều này dẫn tới định nghĩa

$a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,$

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.

Lũy thừa với số mũ phức

Lũy thừa số mũ phức của số e

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

$e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x$

Sau đó với số phức $z=x+y\cdot i$, ta có

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\cdot \sin y)$

Lũy thừa số mũ phức của số thực dương

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa a^z được định nghĩa là

$a^{z}={{\big (}e^{\ln a}{\big )}}^{z}=e^{z\cdot \ln a}$

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình e^x = a.

Nếu $z=x+y\cdot i$, ta có

$a^{z}=e^{\ln a\cdot (x+iy)}=$ $e^{x\ln a+i\cdot y\ln a}$

$=e^{x\cdot \ln a}\cdot {\big (}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big )}$

$=a^{x}\cdot {\big (}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big )}$

Tính chất lũy thừa

Tính chất cơ bản

1) aⁿ = a $\times$ a $\times$ a $\times$... $\times$ a (n thừa số a)

2) $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}$

3) 0ⁿ = 0 (n > 0)

4) 1ⁿ = 1

5) a⁰ = 1 ($a\neq 0$)

6) a¹ = a

7) $a^{-1}={\frac {1}{a}}$

Tính chất thường găp

1) a^{m + n} = a^m $\times$ aⁿ

2) $a^{m-n}={a^{m}}:{a^{n}}$ với mọi a ≠ 0

3) $a^{m\cdot n}=(a^{m})^{n}$

4) $a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}$

5) $(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$

6)$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

7) $a^{\frac {b}{c}}=\left(a^{b}\right)^{1/c}={\sqrt[{c}]{a^{b}}}$

8) $a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,$

9) $e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x$

Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng $y=x^{\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb {R}$

Tập xác định

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

• nếu $\alpha$ là số nguyên dương thì tập xác định là $D=\mathbb {R}$
• nếu $\alpha =0$ hoặc $\alpha$ là số nguyên âm thì tập xác định là $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$
• nếu $\alpha$ không phải là số nguyên thì tập xác định là $D=(0;+\infty )$

Đạo hàm

Hàm số $y=f(x)=x^{\alpha }$có đạo hàm tại mọi x > 0 và $y'=\alpha x^{\alpha -1}$ là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dương

Xét hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0:

• Với $\alpha >0$, hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$
• Với $\alpha <0$, hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dương

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$trên x>0 có tính chất sau:

• Luôn đi qua điểm I(1;1)
• Nếu $\alpha <0$, đồ thị nhận trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
• Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ nguyên

Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^{n}$ với $n\in \mathbb {Z}$ có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n:

• Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy do f(x) là hàm số chẵn
• Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O do f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũ

Hàm số $y=f(x)=a^{x}$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Đạo hàm

Hàm số $y=f(x)=a^{x}$ với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và $y'=a^{x}\ln(a)$ là đạo hàm cấp 1 của $f(x)$

Đặc biệt hàm số $y=e^{x}$ có đạo hàm cấp 1 là $y'=e^{x}$

Chiều biến thiên

Hàm số $y=f(x)=a^{x}$ đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0<a<1.

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=a^{x}$

Đồ thị hàm số $y=f(x)=a^{x}$có những tính chất sau:

• Luôn đi qua điểm I(0;1) và điểm J(1;a)
• Đồ thị nằm phía trên trục Ox và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang

Tìm chữ số tận cùng

Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Để tìm chữ số tận cùng, ta có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được thay đổi như thế nào.

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁴

Phân tích:

Lũy thừa	71	72	73	74	75	76	77	78	…
Chữ số tận cùng	7	9	3	1	7	9	3	1	…

Giải:

Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy: 7, 9, 3, 1, 7,... (gồm dãy 4 số hạng lặp lại)

2004 : 4 = 501 dư 0

Vậy chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁴ là 1.

(nói cách khác: 7²⁰⁰⁴ = (7⁴)⁵⁰¹; vì 7⁴ tận cùng bằng 1 nên (7⁴)⁵⁰¹ tận cùng bằng 1)

Tìm số các số 0 tận cùng của một tích

Vì 2 × 5 = 10 nên muốn tìm số các số 0 tận cùng ta có thể phân tích tích ban đầu ra thừa số nguyên tố, tìm số cặp thừa số {2, 5} là ra luôn số các số 0 tận cùng.

Ví dụ: Số 12! (12 giai thừa) bao gồm bao nhiêu chữ số 0 tận cùng?

Giải:

Ta có: 12! = 1 × 2 × 3 × ... × 12

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 12! = 2¹⁰ × 3⁵ × 5² × 7 × 11

Vì có 10 thừa số 2 và 2 thừa số 5 nên tạo được 2 cặp {2, 5}.

Vậy 12! có 2 chữ số 0 tận cùng.

Xem thêm

• Phép cộng
• Phép nhân
• Phép chia
• Phép trừ
• Phép khai căn
• Logarit
• Tetration

Thư mục

• Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục