Mở trình đơn chính

Tập hợp liên thông

(đổi hướng từ Liên thông)
Tập A là liên thông, còn B không

Tập hợp liên thông là tập hợp không thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập hợp mở không rỗng rời nhau.

Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở không rỗng rời nhau, nói cách khác nó không chứa một tập con thực sự vừa đóng vừa mở.

Một không gian tôpô E gọi là liên thông đường nếu với mọi cặp hai điểm x, y trên E đều có thể xác lập một ánh xạ liên tục f từ đoạn thẳng đơn vị [0, 1] vào E sao cho f(0)=x, f(1)=y

Liên thôngSửa đổi

Định nghĩa không gian tô pô liên thôngSửa đổi

Không gian tôpô X được gọi là không liên thông nếu nó là hội của hai Tập mở rời nhau khác rỗng. Ngược lại là liên thông.

Nói cách khác một không gian tôpô gọi là không gian tô pô liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau, hoặc không chứa một tập con thực sự vừa là Tập đóng vừa là Tập mở.

  • Định lý: không gian X là liên thông nếu chỉ nếu chỉ nó không có tập con nào vừa đóng vừa mở trong X.
  • Hệ quả: Trong mọi không gian topo X, tập X và tập rỗng là 2 tập duy nhất vừa đóng vừa mở trong X.
Ví dụ:
  1. Trong   với topo giới hạn dưới, khoảng   là vừa đóng vừa mở. Do đó   không liên thông trong topo này.
  2. Hội của [0, 1) và (1, 2] là không liên thông vì 1 không thuộc hội của hai tập này; cả hai khoảng đó là mở trong không gian topo chuẩn [0, 1) ∪ (1, 2].
  3. (0, 1) ∪ {x} là không liên thông nếu x không thuộc (0, 1).
  4. Tập lồi là liên thông.
  5.   là tập liên thông.
 
Hội và giao của các tập liên thông với nhau
  • Định lý:   là hai không gian topo,  Ánh xạ liên tục, thì   là liên thông trong  .
  • Bổ đề:   là hai tập con của không gian topo  . Giả sử   là liên thông và  . Hơn nữa giả sử rằng   là tách của   trong  . Thì có   hoặc  
  • Định lý: Nếu   là họ tập con khác rỗng liên thông của không gian topo   sao cho   là khác rỗng, thì   cũng liên thông.
  • Định lý: Bao đóng của tập con liên thông là liên thông:
  • Định lý: Cho   là họ các không gian liên thông. Thì không gian tích   là liên thông.
  • Mệnh đề: Một tập con của không gian topo được gọi là liên thông nếu nó liên thông dưới một không gian topo con của nó.

Thành phần liên thôngSửa đổi

Những tập con liên thông lớn nhất của không gian topo khác rỗng được gọi là thành phần liên thông của không gian đó.

Hai điểm x, y trong không gian topo X gọi là thông nhau nếu nó cùng nằm trong 1 tập liên thông. Khi đó quan hệ "thông nhau" là 1 quan hệ tương đương trên X. Quan hệ này chia X thành các lớp rời nhau, mỗi lớp đó gọi là một thành phần liên thông trong X. Ký hiệu một thành phần liên thông chứa x là C(x).

  • Định lý: Thành phần liên thông thì liên thông.
  • Định lý: Mỗi thành phần liên thông của X là tập con đóng của X.
  • Định lý: Nếu hai không gian là đồng phôi thì có một song ánh giữa các tập hợp các thành phần liên thông của hai không gian đó.
  • Định lý: Cho  Phép đồng phôi. Nếu C là thành phần liên thông của X thì f(C) là thành phần liên thông của Y.
Ví dụ:
  1. R^k chỉ có 1 thành phần liên thông là chính nó. Tập Q có vô hạn các thành phần liên thông.
  2.   có hai thành phần liên thông.
  3. Đường thẳng thực bỏ đi một điểm có hai thành phần liên thông.

Liên thông đườngSửa đổi

 
Tập liên thông đường vì giữa hai bất kỳ đều có thể kẻ được đường dẫn nằm trọn trong tập đó nối hai điểm

Khái quátSửa đổi

Không gian topo X được gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm x, y trong X có đường đi trong X từ x tới y. Tập con A của không gian topo X là liên thông đường trong X nếu A là liên thông đường trong không gian topo con, hay còn nói rằng A thừa kế từ X.
Không gian X gọi là liên thông đường nếu với 2 điểm x, y bất kì nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f: [0,1]->X sao cho f(0)=xf(1)=y. (Nói nôm na là giữa 2 điểm bất kì đều có 1 đường đi nối chúng)
Ví dụ:
  1. Các tập lồi là các không gian liên thông đường.
  2.   liên thông đường.
  • Định lý: Tích của các không gian liên thông đường là liên thông đường.
  • Định lý: Nếu X là không gian liên thông đường, thì nó là liên thông.
  • Định lý: Giả sử   là ánh xạ liên tục và X là liên thông đường. Thì   là không gian con liên thông đường của Y.

Thành phần liên thông đườngSửa đổi

Lớp tương đương dưới quan hệ tương đương   được gọi là thành phần liên thông đương của X. Trong đó quan hệ tương đương   trên không gian topo X được định nghĩa bởi   nếu tồn tại một đường đi trong X từ x đến y.
  • Định lý: X là không gian topo, mỗi thành phần liên thông đường của X là liên thông đường.
  • Định lý: X là không gian topo, mỗi tập con liên thông đường của X là tập con của những thành phần liên thông đường của X.
  • Định lý: Nếu   là họ tập con khác rỗng liên thông đường của không gian topo   sao cho   là khác rỗng, thì   cũng liên thông đường.
  • Định lý:   là đồng phôi và C là thành phần liên thông đường của X, thì   là thành phần liên thông đường của Y.

Quan hệ giữa liên thông và liên thông đườngSửa đổi

 
Hình mô tả không gian S
Một tập liên thông đường thì liên thông, ngược lại không đúng.
Ví Dụ:
  1. Xét S không gian con của   (hay còn gọi là Topologist's sine curve):  .
S liên thông nhưng S không liên thông đường.
(?) Tôi thấy không liên thông, vì đoạn [-1;1] trên trục oy và đồ thị không thể liền nhau được. Các bạn có thể giải thích rõ hơn vì sao S liên thông giúp tôi với! Thanks

Liên thông địa phươngSửa đổi

 
Trong không gian topo này, V lân cận của p và nó chứa lân cân liên thông có chứa p (đĩa màu xanh).

Định nghĩa:   là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi   trong   và mọi Lân cận   của   thì có một lân cận liên thông   của   sao  .

Ví dụ
  1. Mỗi khoảng và tia trong đường thẳng thực thì liên thông địa phương.
  2. Không gian con   của   thì không liên thông nhưng nó liên thông địa phương.
  3. Với   là số nguyên dương,Không gian Euclide   là liên thông và liên thông địa phương.
  4. Topologist's sine curve là không gian con của mặt phẳng Eclide thì liên thông nhưng không liên thông địa phương.
  5. Tập hợp các Số hữu tỉ   với topo Eclide thì không liên thông địa phương.
  • Định lý:   là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập   mở trong  ,mà mỗi thành phần liên thông của   là mở trong  .
  • Hệ quả: Nếu   là liên thông địa phương thì mỗi thành phần liên thông của   là mở.
  • Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông địa phương thì liên thông địa phương.

Định nghĩa: (Liên thông địa phương yếu) Không gian   là liên thông địa phương yếu nếu mọi lân cận   của   có một không gian con liên thông của   chứa trong   và chứa  .

Liên thông đường địa phươngSửa đổi

Định nghĩa Tập X là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi   trong   và mọi lân cận   của   thì có một lân cận liên thông đường   của   sao cho  .

Ví dụ
  1.   là liên thông đường địa phương.
  2. Tất cả các Tập mở trong Không gian định chuẩn là liên thông đường địa phương.
  • Định lý: Không gian topo   là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập mở   trong  , mà mỗi thành phần liên thông đường trong   là mở trong  .
  • Hệ quả Nếu   là liên thông đường địa phương thì mỗi thành phân liên thông của   là mở.
  • Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông đường địa phương thì liên thông đường địa phương.

Định nghĩa(Liên thông địa phương yếu) Không gian   là liên thông đường địa phương yếu tại   nếu với mọi lân cận   của   có một không gian con liên thông đường của   chứa trong   và chứa  .

Quan hệ giữa liên thông địa phương và liên thông đường địa phươngSửa đổi

  • Mệnh đề: Liên thông đường địa phương thì liên thông địa phương, ngược lại không đúng.
  • Mệnh đề: Liên thông và liên thông đường địa phương thì liên thông đường.

Tham khảoSửa đổi

  • Introduction to toplogy_ Colin Adams
  • Munkres, James R. (2000). Topology, Second Edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Lecture notes toplogy _ Huỳnh Quang Vũ
  • Tôpô _ Dương Minh Đức.

Liên kết ngoàiSửa đổi