Ma trận lũy linh

Trong đại số tuyến tính, một ma trận lũy linh là một ma trận vuông N sao cho

với ksố nguyên dương. Số k nhỏ nhất thỏa mãn biểu thức trên được gọi là bậc của ma trận lũy linh N.

Ví dụSửa đổi

Ma trận

là ma trận lũy linh với bậc là 2 (vì ).

Ma trận

là ma trận lũy linh với bậc là 4 (vì ).

Các tính chất đặc trưngSửa đổi

Cho N là một ma trận vuông cấp n với các phần tử thực (hoặc phức), các mệnh đề sau là tương đương:

  1. N lũy linh.
  2. Đa thức cực tiểu của N là λk với số nguyên dương kn.
  3. Đa thức đặc trưng của N là λn.
  4. N có trị riêng duy nhất là 0.
  5. tr(Nk) = 0 với mọi k ≥ 0.

Định lý cũng đúng cho các ma trận trên mọi trường.

Hệ quảSửa đổi

  • Bậc của một ma trận lũy linh luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cấp của nó. Ví dụ mọi ma trận lũy linh cấp 2 × 2 đều có bình phương bằng 0.
  • Định thứcvết của một ma trận lũy linh luôn bằng 0.
  • Một ma trận 2 × 2 là lũy linh khi và chỉ khi cả định thức và vết của nó bằng 0.
  • Ma trận đường chéo lũy linh duy nhất là ma trận không.

Các tính chất khácSửa đổi

  • Nếu MN là 2 ma trận lũy linh và tích của chúng có tính giao hoán thì M+NMN đều là các ma trận lũy linh,
  • Nếu N là ma trận lũy linh thì, thì ma trận I + N khả nghịch (với Ima trận đơn vị cấp n), đồng thời:: :
  • Nếu N là một ma trận thỏa mãn:: : với mọi t, thì N lũy linh.
  • Mọi ma trận suy biến đều có thể viết thành tích của các ma trận lũy linh.

Tham khảoSửa đổi