Trong toán học , và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một p-nhóm Prüfer là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân
C
p
∞
=
{
exp
(
2
π
i
n
/
p
m
)
∣
n
∈
Z
,
m
∈
N
}
{\displaystyle \mathbf {C} _{p^{\infty }}=\{\exp(2\pi in/p^{m})\mid n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N} \}}
[ 1]
tạo bởi các căn thức phức của đơn vị có bậc là một lũy thừa của p (với p là một số nguyên tố ).
Do đó, nó là một p-nhóm giao hoán đếm được .
Định nghĩa tương đương
sửa
Đặt G là một p -nhóm Prüfer. Ta có:
a) G đẳng cấu với nhóm thương
Z
[
1
/
p
]
/
Z
,
{\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} ,}
với
Z
[
1
/
p
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]}
là nhóm con của (Q ,+) được tạo bởi các phân số có dạng
n
/
p
m
{\displaystyle n/p^{m}}
, với
n
∈
Z
,
m
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N} }
.
Chứng minh. Đồng cấu
Z
[
1
/
p
]
→
C
p
∞
:
q
↦
exp
(
2
π
i
q
)
{\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]\rightarrow \mathbf {C} _{p^{\infty }}:q\mapsto \exp(2\pi iq)}
là một toàn ánh. Hạch của nó là
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
.
b) G có biểu thị nhóm
⟨
x
1
,
x
2
,
…
|
x
1
p
=
1
,
x
2
p
=
x
1
,
x
3
p
=
x
2
,
…
⟩
.
{\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\dots |x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},\dots \rangle .}
c) G có một hệ sinh
(
a
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbf {Z} }}
sao cho
a
0
≠
1
{\displaystyle \ a_{0}\not =1}
,
a
0
p
=
1
{\displaystyle \ a_{0}^{p}=1}
và
a
n
+
1
p
=
a
n
{\displaystyle \ a_{n+1}^{p}=a_{n}}
với mọi
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
[ 2] .
d) G là hợp của một chuỗi tăng dần vô hạn
C
0
≤
C
1
≤
…
≤
C
n
≤
…
{\displaystyle C_{0}\leq C_{1}\leq \ldots \leq C_{n}\leq \ldots }
trong đó, với mọi n , Cn là một nhóm cyclic cấp pn [ 3] .
Ghi chú và tài liệu tham khảo
sửa
^ Ký hiệu
C
p
∞
{\displaystyle \mathbf {C} _{p^{\infty }}}
được sử dụng trong Calais 1984 Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFCalais1984 (trợ giúp ) . Trong S. Lang, Algèbre , Paris, Dunod, 2004, tr. 53, ký hiệu
μ
[
p
∞
]
{\displaystyle \mathbf {\mu [p^{\infty }]} }
được sử dụng.
^ xem chứng minh trong Calais 1984 Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFCalais1984 (trợ giúp )
^ xem chứng minh trong B. Baumslag và B. Chandler, Group Theory , Mc-Graw Hill, 1968, định lý 6.31, tr. 206.