Nhóm nhị diện

Trong toán học, một nhóm nhị diện là một nhóm các đối xứng của một đa giác đều,[1][2] gồm các phép quay, các phép phản xạ và các phép quay phi chính. Nhóm nhị diện là một trong những ví dụ đơn giản nhất của các nhóm hữu hạn, có vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm, hình họchóa học.

Nhóm đối xứng của một bông tuyết là D6, giống với đối xứng nhị diện của lục giác

Định nghĩaSửa đổi

Các phần tửSửa đổi

 
Sáu trục phản xạ trên hình lục giác đều

Một đa giác đều với   cạnh có   đối xứng khác nhau: có   đối xứng quay  đối xứng phản xạ. Thường thì ta chỉ xét   . Các phép quayphản xạ nói trên tạo nên nhóm nhị diện  . Nếu   lẻ, mỗi trục đối xứng nối trung điểm của một cạnh sang điểm đối diện. Nếu   chẵn, thì ta có   trục đối xứng nối trung điểm của các cạnh đối diện nhau và   trục đối xứng giữa hai điểm đối diện. Bất kể trường hợp nào, ta đều có   trục đối xứng và   phần tử trong nhóm.[3] Phản xạ qua một trục đối xứng theo sau một phản xạ khác qua một trục đối xứng khác sẽ cho phép quay với góc bằng hai lần góc giữa hai trục.[4]

Bức ảnh sau minh họa tác động của 16 phần tử của nhóm   trên biển báo giao thông:

 

Hàng đầu tiên biểu diễn tác động dưới phép quay, và hàng thứ hai biểu diễn tác động của phép phản xạ, Trong đó mỗi trường hợp tác động với biển ban đầu tại góc trên bên trái.

Cấu trúc nhómSửa đổi

Giống như mọi đối tượng hình học, hợp của hai đối xứng của một đa giác đều cũng là đối xứng của nó. Với phép hợp thực hiện như một phép toán hai ngôi, Các đối xứng của đa giác đều hình thành nên cấu trúc đại số của nhóm hữu hạn.[5]

 
Các đường phản xạ được gọi là S0, S1, và S2 được giữ nguyên (trên giấy) và không di chuyển khi phép đối xứng (quay hoặc phản xạ) được thực hiện trên tam giác
 
Hợp của hai phẩn xạ này là một phép quay

Bảng Cayley sau cho thấy tác động của nhóm D3 (các đối xứng của tam giác đều). r0 là phần tử đơn vị; r1 và r2 biểu thị phép quay ngược kim đồng hồ 120° và 240° tương ứng, còn s0, s1 và s2 biểu thị phản xạ qua ba đường như trong ảnh sau.

r0 r1 r2 s0 s1 s2
r0 r0 r1 r2 s0 s1 s2
r1 r1 r2 r0 s1 s2 s0
r2 r2 r0 r1 s2 s0 s1
s0 s0 s2 s1 r0 r2 r1
s1 s1 s0 s2 r1 r0 r2
s2 s2 s1 s0 r2 r1 r0

Ví dụ, s2s1 = r1, vì phản xạ s1 theo sau phản xạ s2 tạo thành phép quay 120°. Phép hợp không có tính giao hoán.[5]

Tổng quát thì, nhóm Dn có r0, ..., rn−1 và s0, ..., sn−1, với phép hợp thỏa mãn công thức sau:

 

Trong mọi trường hợp, cộng và trừ các phần tử   dùng phép toán modulo với modulo n.

Biểu diễn ma trậnSửa đổi

 
Các đối xứng của ngũ giác này là các phép biến đổi tuyến tính trên một mặt phẳng như 1 không gian vectơ.

Nếu ta đặt tâm của đa giác đều tại gốc tọa độ O trong hệ tọa độ, thì các phần tử trong nhóm nhị diện hoạt động tương tự như các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng. Nó giúp ta biểu diễn các phần tử của Dn thành các ma trận, với phép hợp là phép nhân ma trận.Đây là ví dụ của biểu diễn nhóm (2 chiều).

Để lấy ví dụ, các phần tử của nhóm D4 có thể biểu diễn bằng 8 ma trận sau đây:

 

Tổng quát thì, các ma trận cho nhóm Dn có dạng sau:

 

rkma trận quay, quay ngược kim đồng hồ 1 góc 2πk/n. sk là phản xạ qua đường tạo góc πk/n với trục x.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Weisstein, Eric W., "Dihedral Group" từ MathWorld.
  2. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (ấn bản 3). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
  3. ^ Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, tr. 95, ISBN 9780198501954
  4. ^ Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 2), Springer, tr. 98, ISBN 9780387224558
  5. ^ a b Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, tr. 71, ISBN 9781482248913