Trong hình học vi phân, phân lá (hay sự phân lá) là một sự phân tách một đa tạp thành các đa tạp con (được gọi là các ).[1] Các phân lá đa tạp xuất hiện tự nhiên trong nhiều tình huống hình học, chẳng hạn như nghiệm của các phương trình vi phân và các hệ khả tích, cũng như trong hình học simplectic.[1]

Tiết diện hai chiều của phân lá Reeb
Mô hình ba chiều của phân lá Reeb

Định nghĩaSửa đổi

Phân lá (nhẵn) có thể được định nghĩa theo một vài cách tương đương:[2]

  • Bằng các at-las phân lá thỏa mãn điều kiện phân tách địa phương.
  • Bằng các at-las phân lá thỏa mãn điều kiện phân tách toàn cục.
  • Bằng các phân thớ con khả tích của  .
  • Bằng các i-đê-an vi phân tầm thường địa phương.

At-las phân láSửa đổi

Một phân lá trên một đa tạp   là một at-las phân lá: một họ các bản đồ địa phương  , với  , sao cho các phép chuyển bản đồ bảo toàn sự phân tách trên: với mọi  ,  .

 
Sơ đồ chuyển bản đồ phân lá.

Phân thớ con khả tíchSửa đổi

Xét một phân bố trên đa tạp  , nói cách khác một phân thớ véc tơ con   của  . Giả sử với mọi trường véc-tơ    trong  , ngoặc Lie   cũng là một phần tử của  , thế thì theo bổ đề Frobenius[3] ta có:

 

với   là một phân lá của  .

I-đê-an vi phânSửa đổi

Ứng với mỗi phân bố   chiều   trên đa tạp  , ta có một i-đê-an   các dạng vi phân triệt tiêu  .[4]

Ví dụSửa đổi

  • Phân lá không gian   với các lá là các không gian a-phin   với  .[5]
  • Phân lá Reeb của hình xuyến rắn và của hình cầu ba chiều.[6]

Phân lá kì dịSửa đổi

Một phân lá kì dị cho phép các lá có số chiều khác nhau.[7]

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ a ă Moerdijk, Mrc̆un (2003), tr. 4
  2. ^ Moerdijk, Mrc̆un (2003), tr. 5; 9.
  3. ^ Warner (1971), tr. 42, Theorem 1.60
  4. ^ Warner (1971), tr. 73, Definitions 2.26
  5. ^ Moerdijk, Mrc̆un (2003), tr. 6, Examples 1.1 (1)
  6. ^ Moerdijk, Mrc̆un (2003), tr. 6, Examples 1.1 (5)
  7. ^ Androulidakis, Skandalis (2009), tr. 1

Thư mụcSửa đổi

  • Moerdijk, I.; Mrc̆un J. Introduction to Foliations and Lie Groupoids; Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 91; Cambridge University Press: Cambridge, U.K., 2003.
  • Warner, F. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, 1971
  • Androulidakis, I., Skandalis, G. The holonomy groupoid of a singular foliation, J. reine angew. Math. 626 (2009), 1—37; arxiv

Liên kết ngoàiSửa đổi