Phép biến đổi topo giữa cái ca và cái vòng

Cho hai không gian tô pô X và Y. Một ánh xạ được gọi là một phép đồng phôi (homeomorphism) từ X lên Y nếu f là một song ánh đồng thời cả f lẫn ánh xạ ngược là những hàm liên tục. Nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y thì hai không gian này được gọi là hai không gian đồng phôi với nhau.

Nếu ta xem một không gian tô pô là một vật thể hình học, thì có thể xem một phép đồng phôi là một phép kéo dài và vặn xoắn liên tục một vật thể để cho ra một hình dạng mới. Cho nên một hình vuông và một hình tròn là đồng phôi với nhau. Cũng như việc biến một cốc cà phê thành một cái vòng như hình bên cạnh. Nhưng một quả cầu và một cái bánh donut thì không đồng phôi với nhau.

Phép đồng phôi là cấu xạ của phạm trù các không gian tô pô.

Định nghĩa [1]Sửa đổi

Một ánh xạ   giữa hai không gian tô pô   được gọi là một phép đồng phôi nếu thỏa mãn các tính chất bên dưới:

Nếu tồn tại một ánh xạ f thỏa mãn các tính chất trên thì   được gọi là đồng phôi với nhau.

Một phép tự đồng phôi là một phép đồng phôi từ một không gian tô pô vào chính nó.

Phép đồng phôi hình thành nên một quan hệ tương đương trên lớp các không gian tô pô, lớp tương đương này còn được gọi là những lớp đồng phôi.

Ví dụSửa đổi

Dưới topo Euclid, với   là các số thực bất kỳ sao cho  , ta có [2]:

  • Các Khoảng mở    đồng phôi với nhau.
  • Hai khoảng đóng, bị chặn bất kỳ của đường thẳng thực   thì đồng phôi với nhau.
  • Các nửa khoảng   đồng phôi với nhau.
  • Quả cầu trong không gian n chiều bỏ đi một điểm thì đồng phôi với cả không gian   [3]

Lưu ý:

  • Với    không đồng phôi với nhau.
  • Đường thẳng thực Euclid không đồng phôi với đường tròn đơn vị bởi vì đường tròn đơn vị compắc nhưng đường thẳng thực thì không compắc.
 
Nút ba lá đồng phôi với hình tròn
 
Phân loại bảng chữ cái dựa vào phép đồng phôi

Chú ýSửa đổi

  • Tính chất thứ 3,   liên tục là điều kiện thiết yếu. Xét ví dụ, cho hàm  , với  , thì   là một song ánhliên tục nhưng không là đồng phôi (  compắc nhưng   không compắc).[4]
  • Phép đồng phôi là một phép đẳng cấu trong phạm trù không gian topo. Như vậy, hợp của hai phép đồng phôi là một phép đồng phôi, và tập tất cả các tự đồng phôi từ   tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm đồng phôi của  , ký hiệu là  .
  • Lưu ý: Nếu   là phép đồng phôi giữa    thì   vừa là ánh xạ đóng vừa là ánh xạ mở.

Nghĩa là   biến tập mở trong   thành tập mở trong  , biến tập đóng trong   thành tập đóng trong  .

Tính chấtSửa đổi

Hai không giao topo đồng phôi với nhau thì có cùng tính chất topo với nhau. Cho ánh xạ  . Với   là phép đồng phôi giữa   . Nếu

Các khái niệm khácSửa đổi

của   trong   là một ánh xạ:   sao cho   là phép đồng phôi giữa   và không gian con   của  .

  • Cho   là không gian topo.Nếu   là một phép nhúng thì ảnh của   là một cung trong  .Nếu   là một phép nhúng thì ảnh của   là một đường cong đơn kín đơn giản trong  .
  • Ví dụ: những nốt thắt dây là phép nhúng của một vòng tròn vào không gian 3 chiều.
 
những nốt thắt dây là phép nhúng của một vòng tròn vào không gian 3 chiều

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Colin, Adams. “4”. Introduce to Topology Pure and Applied. tr. 141. ISBN 978-81-317-2692-1. 
  2. ^ Colin, Adams. “4”. Introduce to Topology Pure and Applied. tr. 143. ISBN 978-81-317-2692-1. 
  3. ^ Huỳnh, Quang Vũ (2012). “4”. Lecture notes on Topology. Ho Chi Minh city University of Science. tr. 17. 
  4. ^ Colin, Adams. “4”. Introduce to Topology Pure and Applied. tr. 144. ISBN 978-81-317-2692-1. 
  5. ^ Colin, Adams. “4”. Introduce to Topology Pure and Applied. tr. 150. ISBN 978-81-317-2692-1. 

Liên kếtSửa đổi

http://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism