sửa
Vectơ
u
→
≠
0
→
{\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}}
vectơ chỉ phương
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0}
k
u
→
{\displaystyle k{\vec {u}}}
sửa
Vectơ
n
→
≠
0
→
{\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}}
vectơ pháp tuyến
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0}
k
n
→
{\displaystyle k{\vec {n}}}
sửa
Trong mặt phẳng tọa độ
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
d
{\displaystyle d}
a
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)}
n
→
=
(
−
b
,
a
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)}
n
→
=
(
b
,
−
a
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)}
d
{\displaystyle d}
n
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}
a
→
=
(
−
b
,
a
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)}
a
→
=
(
b
,
−
a
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)}
Trong không gian với hệ trục tọa độ
O
x
y
z
{\displaystyle Oxyz}
d
{\displaystyle d}
n
1
→
=
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}
n
2
→
=
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}
tích có hướng giữa
n
1
→
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}
n
2
→
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}
n
2
→
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}
n
1
→
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}
sửa
Trong mặt phẳng tọa độ
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
d
{\displaystyle d}
M
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0})}
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}
d
{\displaystyle d}
{
x
=
x
0
+
u
1
t
y
=
y
0
+
u
2
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}}
t
{\displaystyle t}
t
∈
R
{\displaystyle t\in R}
Nếu
u
1
≠
0
{\displaystyle u_{1}\neq 0}
u
2
≠
0
{\displaystyle u_{2}\neq 0}
t
{\displaystyle t}
x
−
x
0
u
1
=
y
−
y
0
u
2
{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}}
Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.
Phương trình
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
a
2
+
b
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}
n
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}
sửa
Đường thẳng
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle by+c=0}
(
a
=
0
)
{\displaystyle (a=0)}
O
y
{\displaystyle Oy}
A
(
0
;
−
c
b
)
{\displaystyle A(0;-{c \over b})}
Đường thẳng
a
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax+c=0}
(
b
=
0
)
{\displaystyle (b=0)}
O
x
{\displaystyle Ox}
B
(
−
c
a
;
0
)
{\displaystyle B(-{c \over a};0)}
Đường thẳng
a
x
+
b
y
=
0
{\displaystyle ax+by=0}
(
c
=
0
)
{\displaystyle (c=0)}
O
(
0
;
0
)
{\displaystyle O(0;0)}
sửa
Đường thẳng đi qua 2 điểm
A
(
x
0
;
0
)
{\displaystyle A(x_{0};0)}
x
0
≠
0
{\displaystyle x_{0}\neq 0}
B
(
0
;
y
0
)
{\displaystyle B(0;y_{0})}
y
0
≠
0
{\displaystyle y_{0}\neq 0}
x
x
0
+
y
y
0
=
1
{\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1}
sửa
Cho đường thẳng
d
{\displaystyle d}
O
x
{\displaystyle Ox}
M
{\displaystyle M}
M
t
{\displaystyle Mt}
O
x
{\displaystyle Ox}
M
t
{\displaystyle Mt}
M
x
{\displaystyle Mx}
α
{\displaystyle \alpha }
k
=
tan
α
{\displaystyle k=\tan \alpha }
k
{\displaystyle k}
d
{\displaystyle d}
Đường thẳng có vecto chỉ phương
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}
k
=
u
2
u
1
{\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}}
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến
n
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}
k
=
−
a
b
{\displaystyle k=-{a \over b}}
Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là
−
1
{\displaystyle -1}
sửa
Cho 2 đường thẳng:
(
D
)
{\displaystyle (D)}
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
(
D
)
{\displaystyle (D)}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
A
a
≠
B
b
{\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}}
{
A
x
+
B
y
+
C
=
0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}}
(
D
)
{\displaystyle (D)}
/
/
{\displaystyle //}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
A
a
=
B
b
≠
C
c
{\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}}
(
D
)
{\displaystyle (D)}
≡
{\displaystyle \equiv }
(
d
)
{\displaystyle (d)}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
A
:
B
:
C
=
a
:
b
:
c
{\displaystyle A:B:C=a:b:c}
sửa
Cho đường thẳng
(
D
)
{\displaystyle (D)}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
M
{\displaystyle M}
n
1
→
=
(
A
1
,
B
1
)
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})}
(
D
)
{\displaystyle (D)}
n
2
→
=
(
A
2
,
B
2
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
α
{\displaystyle \alpha }
cos
α
=
|
n
1
→
.
n
2
→
|
|
n
1
→
|
|
n
2
→
|
=
|
A
1
A
2
+
B
1
B
2
|
(
A
1
2
+
B
1
2
)
(
A
2
2
+
B
2
2
)
{\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}
2 đường thẳng vuông góc thì
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì
α
=
0
∘
{\displaystyle \alpha =0^{\circ }}
Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.
sửa
Cho đường thẳng
(
d
)
{\displaystyle (d)}
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
M
(
x
0
,
y
0
)
∉
(
d
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)}
M
{\displaystyle M}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
d
(
M
,
d
)
=
|
a
x
0
+
b
y
0
+
c
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
sửa
Cho đường thẳng
(
d
)
{\displaystyle (d)}
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
M
(
x
M
,
y
M
)
{\displaystyle M(x_{M},y_{M})}
N
(
x
N
,
y
N
)
{\displaystyle N(x_{N},y_{N})}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
m
=
a
x
M
+
b
y
M
+
c
{\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}
n
=
a
x
N
+
b
y
N
+
c
{\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
sửa
Trong không gian với hệ trục tọa độ
O
x
y
z
{\displaystyle Oxyz}
d
{\displaystyle d}
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}
d
{\displaystyle d}
{
x
=
x
0
+
u
1
t
y
=
y
0
+
u
2
t
z
=
z
0
+
u
3
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}}
t
{\displaystyle t}
t
∈
R
{\displaystyle t\in R}
Nếu cả
u
1
{\displaystyle u_{1}}
u
2
{\displaystyle u_{2}}
u
3
{\displaystyle u_{3}}
0
{\displaystyle 0}
t
{\displaystyle t}
x
−
x
0
u
1
=
y
−
y
0
u
2
=
z
−
z
0
u
3
{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}}
sửa
Cho đường thẳng
(
d
)
{\displaystyle (d)}
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
u
′
→
=
(
u
1
′
,
u
2
′
,
u
3
′
)
{\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})}
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M(x,y,z)}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
M
′
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle M'(x',y',z')}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
(
d
)
≡
(
d
′
)
{\displaystyle (d)\equiv (d')}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→
,
u
′
→
]
=
[
u
→
,
M
M
′
→
]
=
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}}
(
d
)
/
/
(
d
′
)
{\displaystyle (d)//(d')}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→
,
u
′
→
]
=
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}}
[
u
→
,
M
M
′
→
]
≠
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
[
u
→
;
u
′
→
]
≠
0
→
M
M
′
→
.
[
u
→
;
u
′
→
]
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
M
M
′
→
.
[
u
→
;
u
′
→
]
≠
0
{\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0}
sửa
Cho đường thẳng
(
d
)
{\displaystyle (d)}
M
0
{\displaystyle M_{0}}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
M
{\displaystyle M}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
d
[
M
,
(
d
)
]
=
|
[
M
0
M
→
,
u
→
]
|
|
u
→
|
{\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}
sửa
Cho 2 đường thẳng chéo nhau
(
d
)
{\displaystyle (d)}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
u
′
→
=
(
u
1
′
,
u
2
′
,
u
3
′
)
{\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})}
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M(x,y,z)}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
M
′
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle M'(x',y',z')}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
(
d
)
{\displaystyle (d)}
(
d
′
)
{\displaystyle (d')}
d
[
(
d
)
,
(
d
′
)
]
=
|
[
u
→
,
u
′
→
]
.
M
M
′
→
|
|
[
u
→
,
u
′
→
]
|
{\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }}
![{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e0e146ff1ade2d12ddb880102d664dc8a83df0)
![{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c416648faf1925592302db6310d836867457d8c8)
![{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e1a2e00c8efb65f195e25ae80747838b7963e2)
![{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d7ac5ed31f32a1f7253b24f53ef50c62f452a9)
![{\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5082715ef28e2bf57557e46dc82b537b982c1354)
![{\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683a97f49eb569b17bfac421fede5941bea5a577)
![{\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b27ad75a1f00199f99eb4f88a6230d766bfa6f6)