Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với $k\neq 0$, vectơ $k{\vec {u}}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ ${\vec {n}}\neq {\vec {0}}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với $k\neq 0$, vectơ $k{\vec {n}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương ${\vec {a}}=(a,b)$ thì có vectơ pháp tuyến là ${\vec {n}}=(-b,a)$ hay ${\vec {n}}=(b,-a)$. Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\vec {n}}=(a,b)$ thì có vectơ chỉ phương là ${\vec {a}}=(-b,a)$ hay ${\vec {a}}=(b,-a)$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ ${\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ và vectơ ${\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa ${\vec {n_{1}}}$ với ${\vec {n_{2}}}$ hoặc giữa ${\vec {n_{2}}}$ với ${\vec {n_{1}}}$.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và nhận ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là${\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}$ với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu $u_{1}\neq 0$ và $u_{2}\neq 0$, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc ${x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}$

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc

Dạng tổng quát

Phương trình ax+by+c=0 với $a^{2}+b^{2}\neq 0$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó ${\vec {n}}=(a,b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm $A(0;-{c \over b})$

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm $B(-{c \over a};0)$

Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0)

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(x_{0};0)$($x_{0}\neq 0$) và $B(0;y_{0})$($y_{0}\neq 0$) thì có thể được viết dưới dạng phương trình ${x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1$

Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc $\alpha$. Đặt $k=\tan \alpha$, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ thì có hệ số góc $k={u_{2} \over u_{1}}$

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến ${\vec {n}}=(a,b)$ thì có hệ số góc $k=-{a \over b}$

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0

(D) cắt (d) $\Leftrightarrow$ ${A \over a}\neq {B \over b}$ khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình ${\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}$

(D) // (d)$\Leftrightarrow$ ${A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}$

(D)$\equiv$ (d)$\Leftrightarrow$A:B:C = a:b:c

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi ${\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})$ là vectơ pháp tuyến của (D) và ${\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})$ là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi $\alpha$ là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó $\cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}$

2 đường thẳng vuông góc thì $\alpha =90^{\circ }$

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì $\alpha =0^{\circ }$

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và $M(x_{0},y_{0})\not \in (d)$, khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức $d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm $M(x_{M},y_{M})$, $N(x_{N},y_{N})$ không nằm trên (d). Xét các biểu thức $m=ax_{M}+by_{M}+c$ và $n=ax_{N}+by_{N}+c$, khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ và nhận ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là ${\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}$ với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu cả $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc ${x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}$

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ và (d') có vectơ chỉ phương ${\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})$ . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:

(d)$\equiv$(d') $\Leftrightarrow$$[{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}$

(d)//(d')$\Leftrightarrow$$[{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}$ và $[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}$

(d) cắt (d')$\Leftrightarrow$${\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}$

(d) và (d') chéo nhau $\Leftrightarrow$${\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0$

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (d) đi qua điểm $M_{0}$ và có vectơ chỉ phương ${\vec {u}}$. Khoảng cách từ điểm M đến (d) là $d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương ${\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})$. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là $d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }$

Xem thêm

Đường thẳng

Liên kết ngoài

1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao