Phương trình đường thẳng


Một số khái niệmSửa đổi

Vectơ chỉ phương của đường thẳngSửa đổi

Vectơ   và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với  , vectơ   cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳngSửa đổi

Vectơ   và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với  , vectơ   cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳngSửa đổi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương   thì có vectơ pháp tuyến là   hay  . Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến   thì có vectơ chỉ phương là   hay  

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ   và vectơ   là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa   với   hoặc giữa   với  .

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳngSửa đổi

Dạng tham sốSửa đổi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm   và nhận   làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là  với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị   ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắcSửa đổi

Nếu   , từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc  

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc

Dạng tổng quátSửa đổi

Phương trình ax+by+c=0 với   được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó   là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệtSửa đổi

Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm  

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm  

Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0)

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắnSửa đổi

Đường thẳng đi qua 2 điểm  ( ) và  ( ) thì có thể được viết dưới dạng phương trình  

Hệ số góc của đường thẳngSửa đổi

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc  . Đặt  , khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương   thì có hệ số góc  

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến   thì có hệ số góc  

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳngSửa đổi

Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0

(D) cắt (d)     khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình  

(D) // (d)   

(D)  (d) A:B:C = a:b:c

Góc giữa 2 đường thẳngSửa đổi

Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi   là vectơ pháp tuyến của (D) và   là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi   là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó  

2 đường thẳng vuông góc thì  

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì  

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳngSửa đổi

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và  , khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức  

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳngSửa đổi

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm  ,   không nằm trên (d). Xét các biểu thức   , khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu

Phương trình đường thẳng trong không gianSửa đổi

Dạng tham sốSửa đổi

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm   và nhận   làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là   với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị   ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắcSửa đổi

Nếu cả  ,  ,   đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc  

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳngSửa đổi

Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương   và (d') có vectơ chỉ phương   . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:

(d) (d')   

(d)//(d')   

(d) cắt (d')  

(d) và (d') chéo nhau   

Khoảng cáchSửa đổi

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳngSửa đổi

Cho đường thẳng (d) đi qua điểm   và có vectơ chỉ phương  . Gọi h là khoảng cách từ điểm M đến (d), khi đó h= 

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhauSửa đổi

Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương   và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương  . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là h= 

Xem thêmSửa đổi

Đường thẳng

Liên kết ngoàiSửa đổi

  1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
  2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
  3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
  4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao