Phạm trù (toán học)

Trong toán học, một phạm trù là một cấu trúc đại số có chứa các đối tượng (hay các vật) được kết nối bằng các mũi tên (hay các cấu xạ) cùng với hai thuộc tính cơ bản: khả năng tạo mũi tên một cách kết hợp và sự tồn tại của một mũi tên đồng nhất cho từng đối tượng.

Đây là một phạm trù với các đối tượng A, B, C và các cấu xạ f, g, g ∘ f, và các vòng lặp là các cấu xạ đồng nhất.

Một ví dụ đơn giản là phạm trù các tập hợp. Trong phạm trù này, các đối tượng là các tập hợp và các mũi tên là các hàm số. Bất kỳ một monoid nào cũng là một đối tượng duy nhất, với các cấu xạ là các phần tử của monoid.

Nói chung, các đối tượng và các mũi tên có thể là các thực thể trừu tượng dưới bất kỳ hình thức nào, và khái niệm phạm trù cung cấp một phương pháp cơ bản và trừu tượng để mô tả các thực thể toán học và các mối quan hệ của chúng. Đây là ý tưởng trung tâm của lý thuyết phạm trù, một nhánh của toán học tìm cách khái quát tất cả các ngành toán học thành các đối tượng và các mũi tên, độc lập với những gì các đối tượng và mũi tên này đại diện. Hầu như mọi ngành của toán học hiện đại có thể được mô tả dưới dạng các phạm trù, và làm như vậy thường cho thấy những hiểu biết sâu sắc và sự tương đồng giữa các lĩnh vực dường như khác nhau của toán học.

Để có một nền tảng rộng hơn và các ghi chú lịch sử, hãy xem lý thuyết phạm trù và danh sách các chủ đề của lý thuyết phạm trù.

Định nghĩaSửa đổi

Một phạm trù C bao gồm[1][2]

  • Một lớp ob(C) các đối tượng.
  • Một lớp hom(C) các cấu xạ, hay mũi tên, hay ánh xạ, giữa các đối tượng. Mỗi cấu xạ f có một đối tượng nguồn a and một đối tượng đích b với ab thuộc ob(C). Ta viết f: ab, và ta nói "f là một cấu xạ từ a đến b". Ta ký hiệu hom(a, b) (hoặc homC(a, b)) lớp-hom các cấu xạ từ a đến b. (ta cũng viết Mor(a, b) hay C(a, b)).
  • Với mọi đối tượng a, bc, một phép toán hai ngôi hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) được gọi là phép hợp cấu xạ; hớp của f : abg : bc được ký hiệu là gf hoặc gf.

sao cho các tiên đề sau được thỏa mãn:

  • (tính kết hợp) Với mọi f : ab, g : bch : cd ta có h ∘ (gf) = (hg) ∘ f.
  • (sự tồn tại của cấu xạ đồng nhất) với mọi đối tượng x, tồn tại một cấu xạ 1x : xx (cũng được ký hiệu là idx) sao cho với mọi cấu xạ f : axg : xb, ta có 1xf = fg ∘ 1x = g.

Phạm trù nhỏ/lớnSửa đổi

Một phạm trù C được gọi là nhỏ nếu ob(C) và hom(C) đều là các tập hợp (và không phải là các lớp đích thực).[3] Phạm trù C được gọi là lớn nếu nó không nhỏ.

Trong Mac Lane (1998) một phạm trù lớn được gọi là một meta-phạm trù (metacategory) và một phạm trù nhỏ được gọi là một phạm trù.[4]

Ví dụSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Mac Lane (1998), tr.7-8
  2. ^ Andrea, Giuseppe (1991), tr. 1-2
  3. ^ Andrea, Giuseppe (1991), tr. 43
  4. ^ Mac Lane (1998), tr. 7, tr. 10

Sách tham khảoSửa đổi