Số lập phương

Trong số học, lập phương của một số n có nghĩa là nhân 3 lần giá trị của nó với nhau:

y = x3 với giá trị 1 ≤ x ≤ 25.
n3 = n × n × n.

Hay cũng có thể hiểu là lấy tích của nó với bình phương của nó:

n3 = n × n2.

Đây chính là công thức để tính thể tích cho một khối lập phương có chiều dài các cạnh là n.

Khối lập phương

Lập phương là một hàm lẻ:

(−n)3 = −(n3).

Biểu đồ của hàm lập phương f: x → x3 (hoặc phương trình y = x3) được biết đến như là hình parabê hình khối. Bởi vì lập phương là một hàm số lẻ, đường cong này có một điểm đối xứng ở gốc, nhưng không có trục đối xứng.

Lập phương của số nguyênSửa đổi

Lập phương của các số nguyên từ 0 đến 60 là:(dãy số A000578 trong bảng OEIS):

03 = 0
13 = 1 113 = 1331 213 = 9261 313 = 29,791 413 = 68,921 513 = 132,651
23 = 8 123 = 1728 223 = 10,648 323 = 32,768 423 = 74,088 523 = 140,608
33 = 27 133 = 2197 233 = 12,167 333 = 35,937 433 = 79,507 533 = 148,877
43 = 64 143 = 2744 243 = 13,824 343 = 39,304 443 = 85,184 543 = 157,464
53 = 125 153 = 3375 253 = 15,625 353 = 42,875 453 = 91,125 553 = 166,375
63 = 216 163 = 4096 263 = 17,576 363 = 46,656 463 = 97,336 563 = 175,616
73 = 343 173 = 4913 273 = 19,683 style="padding-left:2em;gfhponnlen

= || 50,653

473 = 103,823 573 = 185,193
83 = 512 183 = 5832 283 = 21,952 383 = 54,872 483 = 110,592 583 = 195,112
93 = 729 193 = 6859 293 = 24,389 393 = 59,319 493 = 117,649 593 = 205,379
103 = 1000 203 = 8000 303 = 27,000 403 = 64,000 503 = 125,000 603 = 216,000

Nói theo hình học, một số nguyên dương m là một số lập phương hoàn hảo nếu và chỉ khi nào có thể sắp xếp các khối hình khối rắn thành một khối rắn lớn hơn. Ví dụ, 27 khối nhỏ có thể được sắp xếp thành một khối lớn hơn với sự xuất hiện của một khối rubic lập phương, từ 3 × 3 × 3 = 27.

Sự chênh lệch giữa lập phương của các số nguyên liên tiếp có thể được biểu diễn như sau:

n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.

hoặc

(n + 1)3n3 = 3(n + 1)n + 1.

Không có số âm nào là số lập phương hoàn hảo, vì lập phương của một số âm là số âm. Ví dụ, −4 × −4 × −4 = −64.

Chữ số tận cùng của lập phương số có chữ số tận cùng là 0-9:

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Tổng của lập phương n số đầu tiênSửa đổi

Tổng của lập phương n số đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đầu tiên:

  (1)

Công thức của Charles Wheatstone (1854):

 

Để chứng minh công thức (1) chúng ta có thể dùng cách sau:

 

Tổng của lập phương n số nguyên lẻ đầu tiênSửa đổi

Tổng của lập phương n số nguyên lẻ đầu tiên được tính theo công thức sau:

 

Trong đó x,y phải thỏa mãn phương trình Pell x2 − 2y2 = −1. Ví dụ cho:y = 529:

 
 

Trong lý thuyết sốSửa đổi

Bài toán Waring đối với số lập phươngSửa đổi

Mỗi số nguyên có thể viết thành tổng của chín (hoặc ít hơn) số lập phương nguyên dương. Giá trị chặn trên không thể giảm đi được bởi, ví dụ như 23 không thể viết thành tổng của ít hơn chín số lập phương:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

Tổng của ba số lập phươngSửa đổi

Hiện tại đang có giả thuyết một số nguyên không đồng dư bằng ±4 modulo 9 có thể viết thành tổng của ba số lập phương vô hạn cách.[1] Ví dụ,  . Các số nguyên đồng dư với ±4 modulo 9 không được xét vì chúng không thể viết thành tổng của ba số lập phương.

Số nguyên dương nhỏ nhất mà chưa tìm được tổng là 114. Vào tháng chín năm 2019, số nguyên dương nhỏ nhất đứng trước không tìm được tổng, 42, thỏa mãn phương trình:

 

Định lý cuối cùng của Fermat đối với lập phươngSửa đổi

Phương trình x3 + y3 = z3 không có nghiệm nguyên khác không (i.e. xyz ≠ 0). Thậm chí, nó còn không có nghiệm dạng số nguyên Eisenstein.[2]

Cả hai ý trên cũng đúng với phương trình[3] x3 + y3 = 3z3.

Số thực, số phứcSửa đổi

Cho hàm x ↦ x3: R → R. Chỉ có ba số bằng lập phương của chính mình: -1, 0, và 1. Nếu -1 <x <0 hoặc 1 <x, thì x3> x. Nếu x <-1 hoặc 0 <x <1, thì x3 <x. Tính chất nói trên cũng đúng với bất kỳ số mũ lẻ cao hơn (x5, x7,...) của số thực.

Với những số phức, lập phương của một số thuần ảo là: i3 = −i.

Lịch sửSửa đổi

Các nhà toán học Lưỡng Hà đã tạo ra các viên nén hình nêm với các bàn để tính các khối lập phương và các khối lập phương theo thời kỳ Babylon (thế kỷ XX đến XVI TCN)[4][5]. Phương trình bậc ba được nhà toán học người Hy Lạp cổ là Diophantus biết đến.[6] Anh hùng của Alexandria đã nghĩ ra một phương pháp tính toán cội nguồn của lập phương vào thế kỷ đầu tiên của Công Nguyên[7]. Phương pháp giải phương trình bậc ba và phép khai căn bậc ba xuất hiện trong cửu chương toán thuật, công trình toán học Trung Quốc được biên soạn vào khoảng thế kỷ thứ II trước công nguyên, được Lưu Huy chú giải vào thế kỷ thứ III của Công nguyên[8]. Nhà toán học người Ấn Độ, Aryabhata đã viết một lời giải thích về lập phương trong nghiên cứu của ông. Trong năm 2010 Alberto Zanoni đã tìm ra một thuật toán mới[9] để tính toán lập phương của một số nguyên dài trong một phạm vi nhất định, nhanh hơn gấp đôi.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Huisman, Sander G. (27 Apr 2016). "Newer sums of three cubes". arΧiv:1604.07746 [math.NT]. 
  2. ^ Hardy & Wright, Thm. 227
  3. ^ Hardy & Wright, Thm. 232
  4. ^ Cooke, Roger (8 tháng 11 năm 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. tr. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
  5. ^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. tr. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
  6. ^ Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
  7. ^ Smyly, J. Gilbart (1920). “Heron's Formula for Cube Root”. Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.
  8. ^ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. tr. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.
  9. ^ http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/[liên kết hỏng]