Không gian tôpô tích

(đổi hướng từ Tô pô tích)

Trong tô pô và các ngành toán học liên quan, không gian tíchtích Descartes của một họ không gian tô pô được trang bị một tôpô gọi là tô pô tích. Tô pô này khác với các loại khác, điển hình là tô pô hộp. Tô pô hộp của một không gian tích trở thành tô pô tích khi nó xác định trên không gian hữu hạn. Tuy vậy, tô pô tích cho phép không gian tích thực hiện được phép tích đối với các nhân tử của nó.[1][2]

Định nghĩaSửa đổi

Không gian X thỏa mãn[1]

 

là tích Descartes của không gian tô pô  , đánh số bởi  , và phép chiếu  :   , tô pô tích trên   được định nghĩa là tô pô yếu nhất (hay tô pô có ít tập mở nhất) đối với mọi phép chiếu liên tục  . Tô pô tích còn được gọi là tô pô Tychonoff.[1][3]

  • Trường hợp    là không gian tô pô, thì tô pô tích trên   là tô pô sinh bởi cơ sở   với   là một cơ sở của tô pô    là một cơ sở cho tô pô Y

Cho   được định nghĩa bởi   và cho   được định nghĩa bởi  . thì họ   với   mở trong    mở trong   là một cơ sở con của tô pô  .

  • Trường hợp tích vô hạn

  là một họ được đánh chỉ số các không gian tô pô,   Định nghĩa tô pô tích trên   là tô pô sinh bởi  .   có một cơ sở là   Tô pô tích trên   có cơ sở là những tập có dạng   với   mở trong   cho mỗi    trừ ra hữu hạn giá trị  .

  • Tô pô hộp là tô pô trên   có cơ sở là những tập có dạng   với   mở trong   cho mỗi  .

Ví dụSửa đổi

 
Hình trụ đặc có bán kính 1
 
Hình xuyến
  1. Tích Tôpô   là hình trụ đặc có bán kính đáy 1, chiều cao 1 như hình vẽ.
  2. Tôpô trên   như là tích các không gian tô pô Euclid của   là tô pô Euclid.[3]
  3. Hình xuyến là một mặt đóng trong  , nhưng cũng có thể định nghĩa nó là như tích tô pô   trong đó  đường tròn (hoặc cung kín) trong  . Theo cách này có thể coi hình xuyến là không gian tô pô con của  . Tô pô của   là không gian tô pô con giống như tập con của  .[3]
  4. Trong  , cho dãy khoảng mở   trong  , tập   là một tập mở cơ sở cho tô pô hộp, chú ý tập này không mở trong tô pô tích.
  5. Tập   là một tập mở cơ sở của tô pô tích  .

Tính ChấtSửa đổi

Không gian tích  , cùng với phép chiếu chuẩn tắc, đặc trưng bởi tính chất phổ quát sau:

  • Tô pô tích là tô pô thô nhất trên   sao cho tất cả các ánh xạ chiếu   liên tục. Hay nói cách khác, tô pô tích là tô pô sinh bởi những ánh xạ chiếu.
  • Nếu   là một không gian tô pô, và đối với mỗi  ,   là một ánh xạ liên tục, thì tồn tại một ánh xạ liên tục   sao cho mỗi   tuân theo biểu đồ giao hoán:

Nó thể hiện không gian tích là tích phạm trù của các không gian tô pô. Từ tính chất phổ quát trên, ánh xạ   là liên tục nếu và chỉ nếu   liên tục cho mọi  . Trong nhiều trường hợp có thể dễ dàng kiểm tra rằng hàm   là liên tục. Tuy nhiên chứng minh   liên tục thì khó hơn; và cần đến giả thiết   liên tục.

Để thỏa mãn tính liên tục, phép chiếu chuẩn tắc   cần thêm tính chất là những ánh xạ mở. Điều này có nghĩa là bất kỳ tập con mở nào của không gian tích vẫn là mở khi thực hiện chiếu chúng vào  . Điều ngược lại không đúng: nếu   là không gian con của không gian tích mà phép chiếu vào mọi   là mở, thì   không cần thiết là không gian mở trong  .Các phép chiếu chuẩn tắc nói chung không phải là ánh xạ đóng (ví dụ  , mà phép chiếu lên hai trục tọa độ là  ).

Tô pô tích còn gọi là tô pô hội tụ theo từng điểm bởi vì: một dãy số (hoặc lưới) trong X hội tụ nếu và chỉ nếu mọi phép chiếu của nó vào không gian   hội tụ. Đặc biệt, nếu xét không gian   của mọi hàm giá trị thực trên  , sự hội tụ trong tô pô tích là giống với sự hội tụ theo điểm của hàm số.

  • Ánh xạ vào không gian tích là liên tục khi và chỉ khi tất cả các ánh xạ thành phần là liên tục.
  • Tích các tập con đóng bất kỳ   là tập đóng trong  .

Một định lý quan trọng về tô pô tích là định lý Tychonoff: tích của một họ không gian compact bất kỳ là compact. Định lý này có thể chứng minh dễ dàng cho trường hợp hữu hạn, trong khi trường hợp tổng quát tương đương với tiên đề chọn.[4]

Liên quan đến khái niệm tôpô khácSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ a ă â “Product topology”. mathworld.wolfram.com. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  2. ^ “Product topology”. Planet Math. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  3. ^ a ă â John O'Connor. “The product topology”. University of St Andrews, Scotland. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  4. ^ “Tychonoff Theorem”. mathworld.wolfram.com. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  5. ^ Product topology preserves the Hausdorff property trên PlanetMath.

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi