Trong toán học, túc thừa còn gọi là siêu luỹ thừa hoặc vi thừa bậc 4 trong hệ vi thừa (tiếng Anh: tetration hoặc hyper-4) là một phép toán dựa trên phép lặp hoặc sự lặp lại của luỹ thừa. Đây là bậc vi thừa tiếp theo sau luỹ thừa, nhưng trước thụ thừa. Từ này được đặt ra bởi Reuben Louis Goodstein từ chữ tetra- (nghĩa là bốn) và iteration (nghĩa là phép lặp).

Miền tô màu của chỉnh hình túc thừa , với hoá sắc đại diện cho đối số hàm và độ sáng đại diện cho độ lớn
, với n = 2, 3, 4, …, cho thấy sự hội tụ theo số mũ được lặp lại vô hạn giữa hai dấu chấm

Theo định nghĩa như lũy thừa lặp đi lặp lại, ký hiệu có nghĩa là , trong đó, n là số lần của a được lặp lại thông qua phép luỹ thừa, từ phải sang trái. Tức là, nếu ứng dụng trên tầng thứ hai của luỹ thừa thì số lần lặp còn lần. n được gọi là "tham số chiều cao" hay "số triện" của hàm, trong khi, a được gọi là "cơ số", tương tự như luỹ thừa. Nó sẽ được đọc là "túc thừa bậc n của a" hay "a triện n".

Túc thừa cũng được định nghĩa đệ quy như

cho phép các sự nỗ lực mở rộng ra ngoài số tự nhiên chẳng hạn như số thực hoặc số phức.

Hai phép toán nghịch đảo của phép túc thừa được gọi là siêu căn (túc căn) và siêu logarit (siêu đối thừa, túc đối thừa), tương tự như căn bậc n và hàm logarit. Không có hàm nào trong ba hàm này là hàm số sơ cấp.

Túc thừa được sử dụng cho ký hiệu số lớn.

Giới thiệuSửa đổi

Dưới đây là bốn bậc phép toán (vi thừa) đầu tiên, túc thừa được coi là phép toán thứ tư trong số đó. Phép toán một ngôi tiết triển, được định nghĩa là  , được gọi là vi thừa bậc 0.

  1. Phép cộng
     
    n là số lần tiết triển của a
  2. Phép nhân
     
    n là số lần cộng của a
  3. Luỹ thừa
     
    n là số lần nhân của a
  4. Túc thừa
     
    n là số tầng luỹ thừa của a, tính phải sang trái.[1]

Phép tiết triển, (a′ = a + 1) là phép toán cơ bản nhất. Ngoài ra, phép cộng (a + n) là một phép toán chính, ngoài phép cộng của các số tự nhiên nó có thể được coi là một chuỗi các tiết triển của n và tiết triển của a, phép nhân (a × n) cũng là một phép toán chính, đối với các số tự nhiên nó có thể tương tự được coi là một chuỗi các phép cộng đến n lần theo số a. Luỹ thừa ( ) có thể được coi là một chuỗi phép nhân đến n lần theo số a và và túc thừa ( ) có thể được coi là một chuỗi các mũ đến n lần theo số a. Mỗi phép toán ở trên được định nghĩa bằng cách lặp lại cái trước đó[2]. Tuy nhiên, không giống như các phép toán trước nó, túc thừa không phải là một hàm số sơ cấp.

Tham số a được gọi là cơ số, trong khi tham số n trong túc thừa có thể được gọi là tham số chiều cao hoặc gọi đơn giản là số triện. Trong định nghĩa ban đầu của túc thừa, tham số chiều cao phải là số tự nhiên. Ví dụ, nó sẽ phi lý khi nói "ba tăng lên chính nó âm năm lần" hoặc "bốn tăng lên chính nó một nửa lần." Tuy nhiên, cũng như phép cộng, phép nhân và luỹ thừa có thể được định nghĩa theo cách cho phép mở rộng đến số thực và số phức, một số nỗ lực đã được thực hiện để khái quát hoá túc thừa thành số âm, số thực, và số phức. Một trong những cách để làm là sử dụng định nghĩa đệ quy cho túc thừa, đối với mọi số thực dương  số nguyên dương  , ta có thể định nghĩa   đệ quy như sau:[2]

 

Định nghĩa này tương đương với số lần lặp lại luỹ thừa theo số triện tự nhiên. Tuy nhiên, định nghĩa này cho phép mở rộng lên các số triện khác chẳng hạn như  ,  , and  , nhiều trong số các phần mở rộng này là lĩnh vực nghiên cứu hành động.

Thuật ngữSửa đổi

Có nhiều thuật ngữ cho phép túc thừa, mỗi thuật ngữ đều có sự logic đằng sau nó, nhưng một số thuật ngữ thì không được sử dụng phổ biến vì lý do này hay vì lý do khác. Dưới đây là so sánh của mỗi thuật ngữ với cơ sở lý luận và phản biện của nó.

  • Thuật ngữ tetration (túc thừa), được giới thiệu bởi Goodstein trong bài báo Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory[3] của mình năm 1947 (khái quát hóa biểu diễn cơ sở đệ quy được sử dụng trong định lý Goodstein để sử dụng các phép toán cao hơn), đã giành được ưu thế. Nó cũng được phổ biến trong cuốn Infinity and the Mind của nhà toán học Rudy Rucker.
  • Thuật ngữ superexponentiation (siêu luỹ thừa) đã được Bromer xuất bản trong bài báo Superexponentiation của anh ấy năm 1987.[4] Nó đã được Ed Nelson sử dụng trước đó trong cuốn sách Dự đoán số học, Nhà xuất bản Đại học Princeton, 1986.
  • Thuật ngữ hyperpower (siêu mũ)[5] là sự kết hợp tự nhiên của từ hyper (siêu) và từ power (mũ), mô tả một cách khéo léo túc thừa. Nhưng vấn đề là chữ siêu giống với chữ siêu trong dãy vi thừa (hyperoperation). Khi xem xét hệ vi thừa, thì thuật ngữ siêu đều đề cập đến tất cả các bậc của nó, nhưng thuật ngữ siêu lại có trong bậc 4, tức túc thừa. Vì vậy, theo những cân nhắc này siêu mũ là sự sai lệch, do nó chỉ đề cập đến túc thừa mà thôi.
  • Thuật ngữ tháp mũ (power tower)[6] đôi khi cũng được sử dụng, ở dạng "tháp mũ bậc n" cho  . Tuy nhiên, đây là một cách gọi sai bởi vì túc thừa không thể được biểu thị bằng các hàm lặp lại (xem ở trên), vì nó là một hàm luỹ thừa lặp.

Do một phần thuật ngữ được chia sẻ và ký hiệu tượng trưng tương tự, túc thừa thường xuyên bị nhầm lẫn với các chức năng và biểu thức liên quan. Dưới đây là một số thuật ngữ liên quan:

Mẫu Thuật ngữ
  Túc thừa
  Số mũ lặp
  Số mũ lồng (Cũng gọi là tháp mũ)
  Số mũ vô hạn (Cũng gọi là tháp mũ)

Trong hai biểu thức đầu tiên acơ số, và các tầng giá trị a là chiều cao (thêm một tầng cho giá trị x). Trong biểu thức thứ ba, n là chiều cao, nhưng mỗi tầng lại có giá trị khác nhau.

Cần lưu ý khi đề cập đến số mũ lặp, vì thông thường gọi biểu thức của dạng này là luỹ thừa lặp, đó là điều mơ hồ, bởi vì điều này có thể có nghĩa là lặp hoặc số mũ lặp.

Kí hiệuSửa đổi

Có rất nhiều kiểu ký hiệu khác nhau để mô tả túc thừa. Một số ký hiệu cũng có thể được sử dụng để mô tả các cấp vi thừa khác, có những ký hiệu không chỉ dừng lại ở túc thừa mà còn có thể được sử dụng để mô tả các bậc vi thừa cao hơn như (thụ thừa, cấn thừa, vi thừa bậc 7, v.v.)

Tên ký hiệu Mẫu Mô tả
Ký hiệu Rudy Rucker   Được sử dụng bởi Maurer năm 1901 và Goodstein năm 1947, Cuốn Infinity and the Mind của Rudy Ruck phổ biến các ký hiệu.
Ký hiệu mũi tên lên Knuth   Cho phép mở rộng bằng cách đặt nhiều mũi tên hơn, hoặc thậm chí mạnh hơn, một mũi tên được lập chỉ mục.
Ký hiệu mũi tên xích Conway   Cho phép mở rộng bằng cách tăng số 2 (tương đương với các ký hiệu mở rộng ở trên), nhưng, thậm chí nó còn mạnh mẽ hơn, bằng cách mở rộng chuỗi
Hàm Ackermann   Cho phép trường hợp đặc biệt   được viết dưới dạng hàm Ackermann.
Ký hiệu số mũ lặp   Cho phép mở rộng đơn giản cho số mũ lặp từ các giá trị ban đầu khác với 1.
Ký hiệu Hooshmand[7]   Được sử dụng bởi M. H. Hooshmand năm 2006.
Ký hiệu vi thừa   Cho phép mở rộng bằng cách tăng số 4 lên số lớn hơn để mô tả các vi thừa bậc cao hơn.
Ký hiệu dấu mũ đôi a^^n Vì mũi tên lên được sử dụng giống hệt với dấu mũ (^), nên phép túc thừa được viết là (^^); thuận tiện cho ASCII.

Một ký hiệu ở trên sử dụng ký hiệu số mũ lặp, điều này được định nghĩa chung như sau:

  với n là số tầng của a.

Không có nhiều ký hiệu cho số mũ lặp, dưới đây là một vài ký hiệu được sử dụng để mô tả chỉ số lặp:

Tên ký hiệu Mẫu Mô tả
Ký hiệu tiêu chuẩn   Euler đặt ra ký hiệu  , đặt  , sau đó  có thể được biểu diễn dưới dạng ký hiệu lặp  .
Ký hiệu mũi tên lên Knuth   Cho phép tăng số lượng mũi tên để diễn tả độ mạnh (túc thừa) và siêu mũ (số mũ lặp), nó thường được sử dụng với số lượng lớn.
Ký hiệu văn bản exp_a^n(x) Dựa trên ký hiệu chuẩn, thuận tiện cho ASCII.
Ký hiệu J x^^:(n-1)x Lặp lại phép luỹ thừa. Xem J (ngôn ngữ lập trình)[8]

Thí dụSửa đổi

Bởi vì túc thừa có sự gia tăng nhanh chóng, hầu hết các giá trị trong bảng sau đây là quá lớn để viết bằng ký hiệu khoa học. Trong những trường hợp này, ký hiệu số mũ lặp được sử dụng để thể hiện chúng trong cơ số 10. Các giá trị chứa dấu thập phân là gần đúng.

       
1 1 1 1
2 4 16 65,536
3 27 7,625,597,484,987  
4 256    
5 3,125    
6 46,656    
7 823,543    
8 16,777,216    
9 387,420,489    
10 10,000,000,000    

Tính chấtSửa đổi

Túc thừa có những tính chất tương tự như luỹ thừa, cũng như các thuộc tính cụ thể dành riêng cho nó và bị mất hoặc thu được từ lũy thừa. Bởi vì luỹ thừa không có tính chất giao hoán, kết quả và quy tắc không có sự tương tự với túc thừa, các câu   and   không nhất thiết đúng với mọi trường hợp.[9]

Tuy nhiên, túc thừa theo một tính chất khác, trong đó  . Sự thật này được thể hiện rõ nhất bằng cách sử dụng định nghĩa đệ quy. Từ thuộc tính này, một mệnh đề theo sau  , cho phép chuyển đổi bc trong các phương trình nhất định. Mệnh đề như sau:

 

Khi một số x và 10 là số nguyên tố cùng nhau, có thể tính các chữ số thập phân m cuối cùng của   bằng định lý Euler, cho bất kỳ số nguyên m.

Hướng đánh giáSửa đổi

Khi đánh giá túc thừa thể hiện như một "tháp luỹ thừa", lũy thừa được thực hiện ở cấp độ sâu nhất trước tiên[1] (trong ký hiệu, ở đỉnh). Ví dụ:

 

Thứ tự này rất quan trọng vì lũy thừa không có tính kết hợp, và đánh giá biểu thức theo thứ tự ngược lại sẽ dẫn đến một câu trả lời khác:

 

Đánh giá biểu thức từ trái sang phải được coi là ít thú vị hơn, đánh giá từ trái sang phải, mọi biểu thức   có thể được đơn giản hóa thành  .[10] Bởi vì điều này, các tháp phải được đánh giá từ phải sang trái (hoặc từ trên xuống dưới). Lập trình viên máy tính nhắc đến sự lựa chọn này như kết hợp phải.

Mở rộngSửa đổi

Túc thừa có thể được mở rộng theo hai cách khác nhau. Trong phương trình  , cả cơ số a và số triện n có thể được khải quát bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của túc thừa. Mặc dù cơ số và số triện có thể được mở rộng vượt ra ngoài các số nguyên dương đến các miền khác, kể cả  , các hàm phức như  , và số triện của vô hạn n, các tính chất hạn chế hơn của túc thừa làm giảm khả năng mở rộng túc thừa.

Mở rộng miền cho cơ sốSửa đổi

Cơ số khôngSửa đổi

Số mũ   không được xác định nhất quán. Như vậy, các túc thừa   không được xác định rõ ràng bởi các công thức đưa ra trước đó. Tuy nhiên,   được xác định rõ, và tồn tại:[11]

 

Do đó, chúng ta có thể xác định nhất quán  . Điều này tương tự như việc định nghĩa  .

Theo phần mở rộng này,  , do đó, quy tắc   từ định nghĩa ban đầu vẫn giữ.

Cơ số phứcSửa đổi

 
Túc thừa theo kỳ
 
Túc thừa bằng cách trốn thoát

Kể từ khi các số phức được nâng lên thành các mũ, túc thừa có thể được áp dụng cho các cơ số có dạng z = a + bi (trong đó ab là số thực). Ví dụ, trong nz với z = i, túc thừa đạt được bằng cách sử dụng các nhánh chính của logarit (đối thừa) tự nhiên, sử dụng công thức Euler chúng ta được mối quan hệ:

 

Điều này cho thấy một định nghĩa đệ quy cho n+1i = a′ + b′i với bất kỳ ni = a + bi:

 

Các giá trị gần đúng sau đây có thể được lấy:

  Giá trị gần đúng
  i
  0.2079
  0.9472 + 0.3208i
  0.0501 + 0.6021i
  0.3872 + 0.0305i
  0.7823 + 0.5446i
  0.1426 + 0.4005i
  0.5198 + 0.1184i
  0.5686 + 0.6051i

Giải quyết các quan hệ nghịch đảo, như trong phần trước, mang lại 0i = 1−1i = 0, với các giá trị âm của n cho kết quả vô hạn trên trục ảo. Vẽ sơ đồ trong mặt phẳng phức, toàn bộ chuỗi xoắn ốc đến giới hạn 0.4383 + 0.3606i, mà có thể được hiểu là giá trị trong đó n là vô hạn.

Trình tự túc thừa như vậy đã được nghiên cứu kể từ thời Euler, nhưng được hiểu một cách kém cỏi do hành vi hỗn loạn của chúng. Hầu hết các nghiên cứu được công bố trong lịch sử đã tập trung vào sự hội tụ của hàm số mũ lặp vô hạn. Nghiên cứu hiện tại đã được hưởng lợi rất nhiều từ sự có mặt của các máy tính mạnh mẽ với fractal và phần mềm toán học tượng trưng. Phần lớn những gì được biết về túc thừa xuất phát từ kiến ​​thức chung về động lực học phức tạp và nghiên cứu cụ thể về bản đồ số mũ.

Phần mở rộng của miền cho các số triện khác nhauSửa đổi

Số triện vô hạnSửa đổi

 
  của các hàm số mũ lặp vô hạn hội tụ cho các cơ số  
 
Hàm   trên mặt phẳng phức, hiển thị hàm số mũ lặp vô hạn có giá trị thực (đường cong màu đen)

Túc thừa có thể được mở rộng đến các số triện vô hạn.[12] Tức là, đối với một số giá trị an nhất định trong  , tồn tại một kết quả được xác định rõ ràng cho một n vô hạn. Điều này là vì các cơ số trong một khoảng nhất định, túc thừa hội tụ đến một giá trị hữu hạn khi số triện có xu hướng tiến đến vô cùng. Ví dụ,   hội tụ tại 2, và do đó, có thể nói là bằng 2. Xu hướng tới 2 có thể được nhìn thấy bằng cách đánh giá một tháp mũ hữu hạn nhỏ:

 

Nói chung, số mũ lặp lại vô hạn  , được định nghĩa là giới hạn của   khi n tiến đến vô cùng, hội tụ cho eexe1/e, đại khái khoảng từ 0.066 đến 1.44, một kết quả được hiển thị bởi Leonhard Euler.[13] Giới hạn, nó nên tồn tại, là một số thực dương của phương trình y = xy. Như vậy, x = y1/y. Giới hạn xác định túc thừa vô hạn của x không hội tụ cho x > e1/e bởi vì tối đa của y1/ye1/e.

Điều này có thể được mở rộng thành số phức z với định nghĩa:

 

Trong đó W đại diện cho hàm W Lambert.

Như giới hạn y = x (nếu tồn tại, tức là cho ee < x < e1/e) phải thoả mãn xy = y chúng ta thấy rằng xy = x là (nhánh dưới của) hàm nghịch đảo của yx = y1/y.

Số triện âmSửa đổi

Chúng ta có thể sử dụng quy tắc đệ quy cho túc thừa,

 

để chứng minh  :

 

Thay −1 cho k sẽ cho

 .[10]

Các giá trị âm nhỏ hơn không thể được xác định rõ theo cách này. Thay −2 cho k trong cùng phương trình sẽ cho

 

mà không được xác định rõ. Họ có thể, tuy nhiên, đôi khi được coi là các bộ.[10]

Đối với  , mọi định nghĩa của   đều phù hợp với quy tắc bởi vì

  for any  .

Số triện thựcSửa đổi

Tại thời điểm này không có giải pháp thông thường được chấp nhận cho vấn đề chung là mở rộng túc thừa thành giá trị thực và phức của n. Tuy nhiên, đã có nhiều cách tiếp cận đối với vấn đề này và các cách tiếp cận khác nhau được nêu ra dưới đây.

Nói chung, vấn đề là tìm kiếm — với mọi số thực a > 0 — một hàm siêu mũ   trên số thực x > −2 thỏa mãn

  •  
  •  
  •  cho tất cả số thực  [14]

Để tìm thêm phần mở rộng số tự nhiên, thường cần một hoặc nhiều yêu cầu bổ sung. Điều này thường là một số tập hợp sau đây:

  • Yêu cầu liên tục (thường chỉ là   là liên tục trong cả hai biến cho  ).
  • Yêu cầu khả vi (có thể là một lần, hai lần, k lần, hoặc vô cùng khả vi trong x).
  • Yêu cầu thường xuyên (ngụ ý hai lần vi phân trong x) rằng:
  cho tất cả  

Yêu cầu thứ tư khác nhau từ tác giả đến tác giả, và giữa các cách tiếp cận. Có hai cách tiếp cận chính để mở rộng túc thừa lên số triện thực, một là dựa trên yêu cầu thường xuyên, và một là dựa trên yêu cầu khả vi. Hai cách tiếp cận này dường như khác nhau đến mức chúng có thể không thể đối chiếu, vì chúng tạo ra kết quả không nhất quán với nhau.

Khi   được xác định cho một khoảng có độ dài một, toàn bộ hàm dễ dàng theo sau với tất cả x > −2.

Xấp xỉ tuyến tính cho số triện thựcSửa đổi

 
  sử dụng xấp xỉ tuyến tính.

Một xấp xỉ tuyến tính (giải pháp cho yêu cầu liên tục, gần đúng với yêu cầu khả vi) được đưa ra bởi:

 

vì thế:

Xấp xỉ Miền
  for −1 < x < 0
  for 0 < x < 1
  for 1 < x < 2

vân vân. Tuy nhiên, nó chỉ là khả vi, tại các giá trị nguyên của x đạo hàm được nhân với  . Nó liên tục được khả vi cho   khi và chỉ khi  . Ví dụ, sử dụng các phương pháp này   

Một định lý chính trong bài báo Hooshmand[7] phát biểu: Đặt  . Nếu   là liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau:

  •  
  •   là khả vi trên (−1, 0),
  •   là một hàm số không giảm hoặc không tăng trên (−1, 0),
  •  

thì   được xác định duy nhất thông qua phương trình

 

trong đó   biểu thị phần phân số của   -hàm lặp của hàm  .

Bằng chứng là điều kiện thứ hai đến thứ tư ngụ ý tầm thường rằng f là hàm tuyến tính trên [−1, 0].

Phép xấp xỉ tuyến tính với hàm túc thừa tự nhiên   liên tục được khả vi, nhưng đạo hàm thứ hai của nó không tồn tại ở các giá trị nguyên của đối số của nó. Hooshmand đã đưa ra một định lý duy nhất cho nó, trong đó nêu rõ:

Nếu   là một hàm liên tục thỏa mãn:

  •  
  •   là lồi trên (−1, 0),
  •  

sau đó  . [Ở đây   là tên của Hooshmand cho phép tính gần đúng tuyến tính với hàm túc thừa tự nhiên.]

Bằng chứng là giống như trước đây, phương trình đệ quy đảm bảo rằng   và sau đó điều kiện lồi ngụ ý rằng   là tuyến tính trên (−1, 0).

Do đó, phép xấp xỉ tuyến tính với túc thừa tự nhiên là giải pháp duy nhất của phương trình   hàm lồi trên (−1, +∞). Tất cả các giải pháp đủ khả vi khác phải có điểm uốn trên khoảng (−1, 0).

Xấp xỉ bậc cao hơn cho số triện thựcSửa đổi

 
so sánh các xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc hai (màu đỏ và màu xanh tương ứng) của hàm số  , từ x = −2 đến x = 2.

Ngoài các xấp xỉ tuyến tính, xấp xỉ bậc hai (theo yêu cầu khả vi) được đưa ra bởi:

 

có thể phân biệt cho tất cả  , nhưng không hai lần khả vi. Ví dụ,   Nếu   thì đây gần giống như xấp xỉ tuyến tính.[2]

Bởi vì cách tính toán, hàm này không "hủy bỏ", trái với số mũ, trong đó  . Cụ thể là,

 .

Cũng như có một xấp xỉ bậc hai, xấp xỉ bậc ba và phương pháp để khái quát hóa cho xấp xỉ bậc n cũng tồn tại, mặc dù chúng khó sử dụng hơn nhiều.[2][15]

Số triện phứcSửa đổi

 
Vẽ phần mở rộng phân tích   của túc thừa cho mặt phẳng phức. Cấp độ   và các cấp   được hiển thị với các đường cong dày.

Hiện tại đã chứng minh[16] rằng tồn tại một hàm F duy nhất là một nghiệm của phương trình F(z + 1) = exp(F(z)) và thỏa mãn các điều kiện bổ sung mà F(0) = 1F(z) tiếp cận các điểm cố định của logarit (khoảng 0.318 ± 1.337i) khi z tiếp cận ±iFbiến hình trong toàn bộ mặt phẳng phức z-phức, ngoại trừ một phần của trục sô thực tại z ≤ −2. Bằng chứng này xác nhận một phỏng đoán trước đó.[17] Bản đồ phức của chức năng này được hiển thị trong hình bên phải. Bằng chứng cũng hoạt động cho các cơ số khác ngoài e, miễn là cơ sở đó lớn hơn  .

Yêu cầu của túc thừa là chỉnh hình rất quan trọng cho tính độc đáo của nó. Nhiều chức năng S có thể được xây dựng như

 

trong đó αβ là các chuỗi thực sự phân rã đủ nhanh để cung cấp sự hội tụ của dãy liên tiếp nhau, ít nhất là ở các giá trị vừa phải của Im z.

Hàm S thỏa mãn các phương trình túc thừa S(z + 1) = exp(S(z)), S(0) = 1, và nếu αnβn tiếp cận 0 đủ nhanh nó sẽ được phân tích trên một vùng lân cận của trục số thực dương. Tuy nhiên, nếu một số phần tử của {α} hoặc {β} không bằng không, thì hàm S có vô số các điểm kỳ dị bổ sung và đường cắt trong mặt phẳng phức, do sự tăng trưởng theo cấp số nhân của sin và cos dọc theo trục tưởng tượng. Các hệ số {α}{β} càng nhỏ thì, các điểm kỳ dị này càng xa trục thực.

Do đó, việc mở rộng túc thừa vào mặt phẳng phức là rất cần thiết cho sự độc đáo. Túc thừa phân tích thực không phải là duy nhất.

Đệ quy phi cơ bảnSửa đổi

Túc thừa (bị giới hạn ở  ) không phải là một hàm đệ quy cơ bản. Người ta có thể chứng minh bằng cảm ứng rằng với mọi hàm đệ quy sơ cấp f, có một hằng số c sao cho

 

Chúng ta biểu thị phía bên tay phải bởi  . Giả sử ngược lại rằng túc thừa là đệ quy sơ cấp.   cũng là đệ quy sơ cấp. Theo bất đẳng thức trên, có một hằng số c sao cho  . Bằng cách để  , chúng ta có  , một mâu thuẫn.

Phép toán nghịch đảoSửa đổi

Lũy thừa có hai phép toán nghịch đảo: cănlogarit (đối thừa). Tương tự, nghịch đảo của túc thừa thường được gọi là siêu căn, và siêu đối thừa (Trong thực tế, tất cả các vi thừa có bậc lớn hơn hoặc bằng 3 đều có phép nghịch đảo tương tự). Ví dụ, trong hàm  , hai nghịch đảo là siêu căn bậc 3 của y và siêu đối thừa cơ số y của x.

Siêu cănSửa đổi

Các siêu căn là phép toán nghịch đảo của túc thừa đối với cơ số: nếu  , thì y là siêu căn bậc n của x (  hoặc  ).

Ví dụ,

 

vì vậy 2 là siêu căn bậc 4 của 65,536.

Siêu căn bậc 2Sửa đổi

 
Đồ thị  .

Siêu căn bậc 2 có hai ký hiệu tương đương,   . Nó là nghịch đảo của   và có thể được biểu diễn bằng hàm W Lambert:[18]

 

Hàm này cũng minh họa bản chất phản xạ của hàm căn và hàm logarit vì phương trình dưới đây chỉ đúng khi  :

 

Giống như căn bậc hai, siêu căn bậc hai của x có thể không có một giải pháp duy nhất. Không giống như căn bậc hai, việc xác định số lượng siêu căn bậc hai của x có thể khó khăn. Nói chung, nếu  , thì x có hai siêu căn bậc hai dương giữa 0 và 1, thì x có một siêu căn bậc 2 dương lớn hơn 1. Nếu x là số dương và nhỏ hơn   thì nó không có bất kỳ siêu căn bậc 2 thực nào, nhưng công thức đã cho ở trên mang lại vô cùng nhiều công thức phức cho bất kỳ x hữu hạn nào không bằng 1.[18] Hàm đã được sử dụng để xác định kích thước của cụm dữ liệu.[19]

Tại  :

 

Các siêu căn khácSửa đổi

 
Đồ thị  .

Đối với mỗi số nguyên n > 2, hàm nx được xác định và tăng cho x ≥ 1, và n1 = 1, sao cho siêu căn bậc n của x,  , tồn tại cho x ≥ 1.

Tuy nhiên, nếu sử dụng xấp xỉ tuyến tính ở trên, thì   nếu −1 < y ≤ 0, vì vậy   không thể tồn tại.

Cũng giống như siêu căn bậc hai, thuật ngữ cho các siêu căn khác có thể dựa trên các căn thông thường:"siêu căn bậc 3" có thể được thể hiện như  , "siêu căn bậc 4" có thể được thể hiện như  , và "siêu căn bậc n . Lưu ý rằng   có thể không được xác định duy nhất, bởi vì có thể có nhiều hơn căn thứ n. Ví dụ, x có một siêu căn đơn (số thực) nếu n lẻ và lên đến hai nếu n chẵn.

Cũng giống như việc mở rộng túc thừa lên số triện vô hạn, siêu căn có thể được mở rộng đến n = ∞, được xác định rõ nếu 1/exe. Lưu ý rằng   và do đó  . Do đó, khi nó được xác định rõ,   và, không giống như túc thừa thường, là một hàm số sơ cấp. Ví dụ,  .

Nó xuất phát từ Định lý Schelfider Schneider siêu căn   cho bất kỳ số nguyên dương n là số nguyên hoặc số siêu việt, và   là số nguyên hoặc không hợp lý. Vẫn còn là một câu hỏi mở cho dù các siêu căn phi lý có siêu việt trong trường hợp sau hay không.

Siêu logarit (siêu đối thừa)Sửa đổi

Khi định nghĩa tăng liên tục (tính bằng x) của túc thừa, xa, đã được chọn, siêu logarit tương ứng   hoặc   được định nghĩa cho tất cả các số thực x, và a > 1.

Hàm slogax thỏa mãn:

 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ a ă “Derivative of $x^x$, $x^{x^x}$, and a Venture Into Tetration and Hyper-Exponentiation”. Math Vault (bằng tiếng en-US). 1 tháng 1 năm 2016. Truy cập ngày 25 tháng 7 năm 2019. 
  2. ^ a ă â b Neyrinck, Mark. An Investigation of Arithmetic Operations. Retrieved 9 January 2019.
  3. ^ R. L. Goodstein (1947). “Transfinite ordinals in recursive number theory”. Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123–129. JSTOR 2266486. doi:10.2307/2266486. 
  4. ^ N. Bromer (1987). “Superexponentiation”. Mathematics Magazine 60 (3): 169–174. JSTOR 2689566. 
  5. ^ J. F. MacDonnell (1989). “Somecritical points of the hyperpower function  . International Journal of Mathematical Education 20 (2): 297–305. MR 994348. doi:10.1080/0020739890200210. 
  6. ^ Weisstein, Eric W., "Power Tower" từ MathWorld.
  7. ^ a ă M. H. Hooshmand, (2006). “Ultra power and ultra exponential functions”. Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247. 
  8. ^ “Power Verb”. J Vocabulary. J Software. Truy cập ngày 28 tháng 10 năm 2011. 
  9. ^ Alexander Meiburg. (2014). Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower Retrieved November 29, 2018
  10. ^ a ă â Müller, M. “Reihenalgebra: What comes beyond exponentiation?” (PDF). Truy cập ngày 12 tháng 12 năm 2018. 
  11. ^ “Climbing the ladder of hyper operators: tetration « Stack Exchange Mathematics Blog”. math.blogoverflow.com. Truy cập ngày 25 tháng 7 năm 2019. 
  12. ^ “Climbing the ladder of hyper operators: tetration”. George Daccache. 5 tháng 1 năm 2015. Truy cập ngày 18 tháng 2 năm 2016. 
  13. ^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  14. ^ Trappmann, Henryk; Kouznetsov, Dmitrii (28 tháng 6 năm 2010). “5+ methods for real analytic tetration” (PDF). Truy cập ngày 5 tháng 12 năm 2018. 
  15. ^ Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm. The extensions are found in part two of the paper, "Beginning of Results".
  16. ^ W. Paulsen and S. Cowgill (tháng 3 năm 2017). “Solving   in the complex plane” (PDF). Advances in Computational Mathematics 43: 1–22. doi:10.1007/s10444-017-9524-1. 
  17. ^ D. Kouznetsov (tháng 7 năm 2009). “Solution of   in complex  -plane” (PDF). Mathematics of Computation 78 (267): 1647–1670. doi:10.1090/S0025-5718-09-02188-7. 
  18. ^ a ă Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). “On the Lambert W function” (PostScript). Advances in Computational Mathematics 5: 333. arXiv:1809.07369. doi:10.1007/BF02124750. 
  19. ^ Krishnam R. (2004), "Efficient Self-Organization Of Large Wireless Sensor Networks" - Dissertation, BOSTON UNIVERSITY, COLLEGE OF ENGINEERING. pp. 37–40