Tập hợp (toán học)

sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó

Trong toán học, tập hợp là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Tập hợp là một trong những khái niệm nền tảng nhất của toán học. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp là lý thuyết tập hợp.

Một tập hợp hình đa giác trong một biểu đồ Euler

Trong lý thuyết tập hợp, người ta có thể xem tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.[1]tồn tại theo các tiên đề được xây dựng một cách chặt chẽ. Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khác như số, hình, hàm số... trong toán học. Trong một số hệ thống, tập hợp có thể được định nghĩa thông qua khái niệm lớp.

Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta ký hiệu a A. Khi đó, ta cũng nói rằng phần tử a thuộc tập hợp A.

Một tập hợp có thể là một phần tử của một tập hợp khác. Tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một tập hợp còn được gọi là họ tập hợp.

Lý thuyết tập hợp cũng thừa nhận có một tập hợp không chứa phần tử nào, được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là . Các tập hợp có chứa ít nhất một phần tử được gọi là tập hợp không rỗng.

Ngày nay, một phần của lý thuyết tập hợp đã được nhiều nước đưa vào giáo dục phổ thông, thậm chí ngay từ bậc tiểu học.

Nhà toán học Georg Cantor được coi là ông tổ của lý thuyết tập hợp. Để ghi nhớ những đóng góp của ông cho lý thuyết tập hợp nói riêng và toán học nói chung, tên ông đã được đặt cho một ngọn núi ở Mặt Trăng.

Biểu diễn tập hợpSửa đổi

Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào đó. Chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng cho các phần tử của chúng mà nhờ đó có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không.

  • Tập hợp có thể được xác định bằng lời:
A là tập hợp bốn số nguyên dương đầu tiên.
B là tập hợp các màu trên quốc kỳ Pháp.
  • Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng giữa cặp dấu { }, chẳng hạn:
C = {4, 2, 1, 3}
D = {T;A;Y;L;O;R;S;W;I;F;T}
E = {S;T;R;E;A;M;F;O;L;K;L,O;R;E}

Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử. Chẳng hạn tập hợp 1000 số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau:

{0, 1, 2, 3,..., 999}.

Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê:

{2, 4, 6, 8,... }.

Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau

F = {  | n là số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19}
  • Tập hợp có thể xác định bằng đệ quy. Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau:
  1.  
  2. Nếu   thì  

Quan hệ giữa các tập hợpSửa đổi

Quan hệ bao hàmSửa đổi

  • Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì tập hợp A được gọi là tập hợp con (en:Subset) của tập hợp B, ký hiệu là A   B, và tập hợp B bao hàm tập hợp A.
 
Quan hệ bao hàm: A   B
 
Các tập hợp số

Quan hệ A   B còn được gọi là quan hệ bao hàm. Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự trên các tập. Ví dụ:

 : Tập hợp số tự nhiên
 : Tập hợp số nguyên
 : Tập hợp số hữu tỉ
  =    : Tập hợp số vô tỉ
 : Tập hợp số thực
 : Tập hợp số phức

Ta có

 

Một tập hợp có   phần tử thì có   tập hợp con. [2]

Quan hệ bằng nhauSửa đổi

  • Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B (A   B) và B cũng là tập hợp con của A(B   A), ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự, tập con chân chính hay tập con đích thực của tập hợp A.

Các phép toán trên các tập hợpSửa đổi

Các định nghĩaSửa đổi

  • Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A   B
Ta có A   B = {x: x   A hoặc x   B}
  • Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A   B
Ta có A   B = {x: x   A và x   B}
  • Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu  
Ta có: A \ B = {x: x   A và x   B}
Lưu ý, A \ B   B \ A
 
Phần bù của A trong B
  • Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)
  • Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là tập vũ trụ-đôi khi có nghĩa như trường hay không gian - trong vật lý; hay cũng gọi là tập phổ dụng, giống như trong đại số phổ dụng), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản là CA,CB,... hoặc  ,  ...

Các tính chất cơ bảnSửa đổi

Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau:

A   A = A
A   A = A

Phát biểu: giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.

A   (A   B) = A
A   (A   B) = A
Luật hấp thụ còn được viết dưới dạng khác như sau:
Nếu A   B thì A   B = B và A   B = A
A   B = B   A
A   B = B   A
A   (B   C) = (A   B)   C
A   (B   C) = (A   B)   C
A   (B   C) = (A   B)   (A   C)
A   (B   C) = (A   B)   (A   C)
 =  
 =  

Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạnSửa đổi

Khái quát hoá khái niệm số lượng phần tử của các tập hợp hữu hạn là khái niệm lực lượng của tập hợp (Cardinality).

Hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu có một song ánh giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường.

 
Tập hợp A và tập hợp B có cùng lực lượng

Khác biệt cơ bản của các tập hữu hạn với các tập vô hạn là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập hợp vô hạn thì không phải như vậy. Sau đây là một vài ví dụ đơn giản:

  • Tập con   là tập con thực sự của  , tuy nhiên ta có thể kiểm tra ánh xạ sau là song ánh hay không:
 
 

Nghĩa là chúng có cùng lực lượng.

Georg Cantor đã chứng minh rằng không thể có một song ánh giữa tập các số tự nhiên và tập hợp các số thực, vì thế lực lượng của tập hợp số tự nhiên là "nhỏ hơn" lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng continuum.

 
Nếu ký hiệu    ("aleph-null") và   ,thì ta có:
 <  .

Phân hoạchSửa đổi

B(E) là tập các bộ phận của tập E.
Khi đó, P gọi là 1 phân hoạch của E ( Une Partition d'ensemble E ) nếu:

  • P là một bộ phận của B(E).
  • Với mọi tập Ai của P, AiΦ
  • Với mọi phần tử Ai ≠ Aj của P, Ai giao Aj = Φ
  • Với mọi phần tử x của E, luôn tìm thấy phần tử A của P sao cho x là phần tử của A. (Nói cách khác hợp tất cả các phần tử Ai của P ta được E)

Ví dụ: E = {a,b,c}.
P={{a},{b,c}} là 1 phân hoạch của E. Vì:

  • P là một bộ phận của B(E) (Hiển nhiên).
  • Xét tất cả các phần tử của P: A1 = {a} ≠ Φ và A2 = {b,c} ≠ Φ
  • {a} giao với {b,c} = Φ
  • {a} U {b,c} = E

Các khái niệm liên quanSửa đổi

Vì tập hợp là khái niệm nền tảng của toán học và nhiều ngành khoa học khác như vật lý, hoá học, sinh học, các khoa học xã hội..., nên có rất nhiều thuật ngữ trong các ngành khoa học liên quan đến khái niệm tập hợp như: Tập hợp chấp nhận được, Tập hợp giải tích, Tập hợp cơ sở, Tập hợp biên, Tập hợp bị chặn, Tập hợp đóng, Tập hợp giới hạn,...

Trong toán học cũng như một số ngành khoa học, người ta còn dùng một số thuật ngữ khác có cùng ý nghĩa với từ "tập hợp". Ví dụ như là họ, loài, lớp, bộ, nhóm...

Lý thuyết tập hợp tiên đềSửa đổi

Sử dụng lý thuyết tập hợp một cách trực giác có thể dẫn đến một số nghịch lý:

  • Nghịch lý Russel: nó cho thấy "tập hợp tất cả các tập hợp không tự chứa", i.e. "tập hợp" {x|x là một tập hợp và xx} không tồn tại.
  • Nghịch lý Cantor: nó cho thấy "tập hợp tất cả các tập hợp" không tồn tại.

Lý do là khái niệm tập hợp chưa được xác định rõ ràng. Trong khi toán học đang được xây dựng lại dựa theo lý thuyết tập hợp, một điều tối quan trọng là giải quyết những nghịch lý trên. Một cách tiếp cận là xây dựng lý thuyết tập hợp tiên đề dựa trên logic bậc nhất. Kết quả là một số hệ tiên đề như ZF, ZFC,... đã được khai sinh.

Trong đại đa số trường hợp, lý thuyết tập hợp ngây thơ vẫn được sử dụng hữu hiệu.

Giả thuyết ContinuumSửa đổi

Ta đã thấy là lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng Continuum. Tuy nhiên, có hay không một tập hợp có lực lượng lớn hơn lực lượng đếm được và nhỏ hơn lực lượng continuum lại là một vấn đề khác, Cantor giả thiết rằng không có điều đó (giả thiết continuum - tiếng Anh: continuum hypothesis).

 

Điều này tương đương với:

 

Cantor phát biểu giả thuyết Continuum năm 1878, và năm 1900 nó là bài toán đầu tiên trong 23 bài toán Hilbert đưa ra. Kết luận cuối cùng là giả thuyết này độc lập với ZFC, tức là ta có thể khẳng định hay phủ định giả thuyết Continuum, và thêm nó vào như một tiên đề độc lập với ZFC, theo nghĩa nếu ZFC nhất quán thì lý thuyết mới cũng nhất quán. Sự độc lập này được chứng minh năm 1963 bởi Paul Cohen, dựa trên những công trình năm 1940 của Kurt Gödel. Cohen được trao giải thưởng Fields năm 1966 cho chứng minh này.

Sau đó, giả thuyết Continuum vẫn tiếp tục được nghiên cứu trên những khía cạnh khác.

Tiên đề chọn, định lý bất toàn Godel và giả thuyết Continuum là vài trong số những khẳng định đầu tiên được chứng minh là độc lập với ZF. Sau này, nhiều khẳng định khác trong giải tích, tô-pô và lý thuyết độ đo cũng được chứng minh là độc lập với ZF.

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 31
  2. ^ “Subset”. Truy cập 9 tháng 2 năm 2015. 

Thư mụcSửa đổi

  • Hoàng Xuân Sính, 1972, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục

Liên kết ngoàiSửa đổi

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê