Tập hợp Cantor

Trong toán học, tập hợp Cantor là một tập hợp các điểm nằm trên một đoạn thẳng có một số tính chất đáng chú ý và khá sâu sắc. Nó được phát hiện vào năm 1874 bởi Henry John Stephen Smith [1][2][3] và được giới thiệu bởi nhà toán học người Đức Georg Cantor vào năm 1883.[4][5]

Thông qua việc xem xét tập hợp này, Cantor và những người khác đã giúp đặt nền móng cho tô pô tập điểm hiện đại. Cantor đã định nghĩa tập hợp này theo cách tổng quát, trừu tượng, nhưng xây dựng hiện đại phổ biến nhất là tập hợp tam phân Cantor, được xây dựng bằng cách loại bỏ một phần ba ở giữa của một đoạn và sau đó lặp lại quy trình với các đoạn ngắn hơn còn lại. Bản thân Cantor đã đề cập lướt qua việc xây dựng tam phân, như một ví dụ cho một ý tưởng tổng quát hơn, về một tập hợp hoàn hảo không đâu trù mật.

Phóng to tập hợp Cantor. Mỗi điểm trong tập hợp được thể hiện bằng một đoạn thẳng.

Xây dựng và công thức của tập hợp tam phânSửa đổi

Tập hợp tam phân Cantor   được tạo bằng cách lặp đi lặp lại việc xóa khoảng mở nằm giữa khỏi một tập hợp các khoảng đóng. Ta bắt đầu bằng cách xóa khoảng mở (1/3,2/3) từ khoảng [0,1], để lại hai khoảng đóng: [0,1/3]∪[2/3,1]. Tiếp theo, ta xóa một phần ba mở ở giữa mỗi khoảng đóng trên, để lại bốn khoảng đóng: [0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]. Quá trình này được tiếp tục ad infinitum, với tập thứ n

 

Tập tam phân Cantor chứa tất cả các điểm trong khoảng [0,1] không bị xóa ở bất kỳ bước nào trong quá trình vô hạn này:

 

Sáu bước đầu tiên của quá trình này được minh họa dưới đây.

 

Tính chấtSửa đổi

Lực lượngSửa đổi

Tập hợp Cantor là không đếm được.

Đặc tính tô pô và giải tíchSửa đổi

Tập hợp Cantor có độ đo Lebesgue bằng 0.

Nó là một không gian metric đầy đủ, compact.

Tập hợp Cantor là một tập hợp hoàn hảo không đâu trù mật của đường thẳng thực.

Tập hợp Cantor đồng phôi với tích tô pô của một số đếm được các bản sao của không gian  , trong đó mỗi bản sao mang tô pô rời rạc.

Biến thểSửa đổi

Bụi CantorSửa đổi

Bụi Cantor là phiên bản đa chiều của tập hợp Cantor.

Giống như tập hợp Cantor, bụi Cantor có độ đo bằng 0.[6]

 
Xây dựng đệ quy bụi Cantor
 
Bụi Cantor (2D)
 
Bụi Cantor (3D)

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ Smith, Henry J.S. (1874). “On the integration of discontinuous functions”. Proceedings of the London Mathematical Society. First series 6: 140–153. 
  2. ^ Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag. tr. 162–165. ISBN 9783034850513.  Đã bỏ qua tham số không rõ |url-access= (trợ giúp)
  3. ^ Stewart, Ian (ngày 26 tháng 6 năm 1997). Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos. Penguin. ISBN 0140256024. 
  4. ^ Cantor, Georg (1883). “Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V” [On infinite, linear point-manifolds (sets), Part 5]. Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức) 21: 545–591. doi:10.1007/bf01446819. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 9 năm 2015. Truy cập ngày 10 tháng 1 năm 2011. 
  5. ^ Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (2004). Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (ấn bản 2). N.Y., N.Y.: Springer Verlag. tr. 65. ISBN 978-1-4684-9396-2.  Đã bỏ qua tham số không rõ |url-access= (trợ giúp)
  6. ^ Helmberg, Gilbert (2007). Getting Acquainted With Fractals. Walter de Gruyter. tr. 46. ISBN 978-3-11-019092-2. 

Tham khảoSửa đổi

 

Liên kết ngoàiSửa đổi