Miêu tả
Display
01) Coordinate time (GM/c^3) 11) BL r coordinate (GM/c^2) 21) Radius of gyration (GM/c^2) 31) Observed framedragging rate (c^3/G/M)
02) Affine parameter (GM/c^3) 12) BL φ coordinate (radians) 22) Cartesian radius (GM/c^2) 32) Local framedragging velocity (c)
03) 1st derivative (dt/dτ) 13) BL θ coordinate (radians) 23) BH Irreducible mass (M) 33) Cartesian framedragging velocity (c)
04) Grav. time dilation (dt/dτ) 14) dr/dτ (c) 24) Kinetic energy (hf) 34) Proper velocity (c, dl/dτ)
05) Local energy (dt/dτ, mc^2) 15) dφ/dτ (c^3/G/M) 25) Potential energy (hf) 35) Observed velocity (c, d{x,y,z}/dt)
06) Cartesian radius (GM/c^2) 16) dθ/dτ (c^3/G/M) 26) Total energy (hf) 36) Escape velocity (c)
07) x Axis (GM/c^2) 17) d^2r/dτ^2 (c^6/G/M) 27) Carter constant (GMhf/c^3) 37) Local r velocity (c)
08) y Axis (GM/c^2) 18) d^2φ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2) 28) φ angular momentum (GMhf/c^3) 38) Local θ velocity (c)
09) z Axis (GM/c^2) 19) d^2θ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2) 29) θ angular momentum (GMhf/c^3) 39) Local φ velocity (c)
10) travelled distance (GM/c^2) 20) Spin parameter (GM^2/c) 30) Radial momentum (hf/c) 40) Total local velocity (c)
Equations of motion
All formulas come in natural units:
G
=
M
=
c
=
1
{\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}
Coordinate time by proper time (dt/dτ):
t
˙
=
2
E
r
(
a
2
+
r
2
)
−
2
a
L
z
r
Δ
Σ
+
E
=
ς
1
−
v
2
{\displaystyle {\rm {{\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}}}
Radial coordinate time derivative (dr/dτ):
r
˙
=
Δ
p
r
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's r-component (pr/dτ):
p
˙
r
=
(
r
−
1
)
(
μ
(
a
2
+
r
2
)
−
k
)
+
2
E
2
r
(
a
2
+
r
2
)
−
2
a
E
L
z
+
Δ
μ
r
Δ
Σ
−
2
p
r
2
(
r
−
1
)
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}}}
Relation to the local velocity:
p
r
=
v
r
1
+
μ
v
2
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}
Latitudinal time derivative (dθ/dτ):
θ
˙
=
p
θ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's θ-component (pθ/dτ):
p
˙
θ
=
sin
θ
cos
θ
(
L
z
2
/
sin
4
θ
−
a
2
(
E
2
+
μ
)
)
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}}}
Relation to the local velocity:
p
θ
=
v
θ
Σ
1
+
μ
v
2
{\displaystyle {\rm {p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}
Longitudinal time derivative (dФ/dτ):
ϕ
˙
=
2
a
E
r
+
L
z
csc
2
θ
(
Σ
−
2
r
)
Δ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's Ф-component (pФ/dτ):
p
˙
ϕ
=
0
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\phi }=0}}}
Carter-constant (I is the orbital inclination angel):
Q
=
p
θ
2
+
cos
2
θ
(
a
2
(
μ
2
−
E
2
)
+
L
z
2
sin
2
θ
)
=
a
2
(
μ
2
−
E
2
)
sin
2
I
+
L
z
2
tan
2
I
{\displaystyle {\rm {Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}}}
Carter k (constant):
k
=
a
2
(
E
2
+
μ
)
+
L
z
2
+
Q
{\displaystyle {\rm {k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}}}
Total energy (constant):
E
=
(
Σ
−
2
r
)
(
θ
˙
2
Δ
Σ
+
r
˙
2
Σ
−
Δ
μ
)
Δ
Σ
+
ϕ
˙
2
Δ
sin
2
θ
=
Δ
Σ
(
1
+
μ
v
2
)
χ
+
Ω
L
z
{\displaystyle {\rm {E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}}}
Angular momentum on the Ф-axis (constant):
L
z
=
sin
2
θ
(
ϕ
˙
Δ
Σ
−
2
a
E
r
)
Σ
−
2
r
=
v
ϕ
R
¯
1
+
μ
v
2
{\displaystyle {\rm {L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}
with the radius of gyration
R
¯
=
χ
Σ
sin
θ
{\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }}}
Frame Dragging angular velocity (dФ/dt):
ω
=
2
a
r
χ
{\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\chi }}}}}
Gravitational time dilation (dt/dτ):
ς
=
χ
Δ
Σ
{\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}}}
Local velocity on the r-axis:
v
r
1
+
μ
v
2
=
r
˙
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {{\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}
Local velocity on the θ-axis:
v
θ
Σ
1
+
μ
v
2
=
θ
˙
Σ
{\displaystyle {\rm {{\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma }}}
Local velocity on the Ф-axis:
v
ϕ
1
+
μ
v
2
=
L
z
R
¯
ϕ
{\displaystyle {\frac {\rm {v_{\phi }}}{\sqrt {1+\mu \ {\rm {v^{2}}}}}}={\frac {\rm {L_{z}}}{\rm {{\bar {R}}_{\phi }}}}}
with the cartesian coordinates:
x
=
r
2
+
a
2
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
r
2
+
a
2
sin
θ
sin
ϕ
,
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\rm {x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ z=r\cos \theta \quad }}}
The observed velocity β is given by:
β
=
(
d
x
/
d
t
)
2
+
(
d
y
/
d
t
)
2
+
(
d
z
/
d
t
)
2
{\displaystyle {\rm {\beta ={\sqrt {(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}}}}}}
The local escape velocity is given by the relation:
ς
=
1
/
1
−
v
e
s
c
2
→
v
e
s
c
=
ς
2
−
1
/
ς
{\displaystyle {\rm {\varsigma =1/{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma }}}
Shorthand Terms:
Σ
=
a
2
cos
2
θ
+
r
2
,
Δ
=
a
2
+
r
2
−
2
r
,
χ
=
(
a
2
+
r
2
)
2
−
a
2
sin
2
θ
Δ
{\displaystyle {\rm {\Sigma =a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\ ,\ \ \Delta =a^{2}+r^{2}-2r\ ,\ \ \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}
Sources: [1] [2] [3] [4] [5] [6]
References
↑ Pu, Yun, Younsi & Yoon: General-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime , p. 2+
↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits , p. 30+
↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes , p. 5+
↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: The Phase Space Portrait , p. 2+
↑ Misner, Thorne & Wheeler (MTW): The Bible archive copy at the Wayback Machine , p. 897+
↑ Simon Tyran: Kerr Orbits / Gravitationslinsen
Giấy phép
Tôi, người giữ bản quyền tác phẩm này, từ đây phát hành nó theo giấy phép sau:
Bạn được phép:
chia sẻ – sao chép, phân phối và chuyển giao tác phẩm
pha trộn – để chuyển thể tác phẩm
Theo các điều kiện sau:
ghi công – Bạn phải ghi lại tác giả và nguồn, liên kết đến giấy phép, và các thay đổi đã được thực hiện, nếu có. Bạn có thể làm các điều trên bằng bất kỳ cách hợp lý nào, miễn sao không ám chỉ rằng người cho giấy phép ủng hộ bạn hay việc sử dụng của bạn.
chia sẻ tương tự – Nếu bạn biến tấu, biến đổi, hoặc làm tác phẩm khác dựa trên tác phẩm này, bạn chỉ được phép phân phối tác phẩm mới theo giấy phép y hệt hoặc tương thích với tác phẩm gốc. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0 CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 true true
File usage
187
189
8
8
758
500
inner ergosphere and ring singularity
Tiếng Việt Ghi một dòng giải thích những gì có trong tập tin này
Tiếng Anh Photon orbit around an extremal Kerr black hole
Tiếng Đức Photonenorbit um ein maximal rotierendes schwarzes Loch