Miêu tả

Miêu tảPrime number theorem ratio convergence.svg	English: A plot showing how two estimates described by the prime number theorem, ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ and ${\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\mathrm {d} t=Li(x)=li(x)-li(2)}$ converge asymptotically towards ${\displaystyle \pi (x)}$, the number of primes less than x. The x axis is ${\displaystyle x}$ and is logarithmic (labelled in evenly spaced powers of 10), going up to 1024, the largest ${\displaystyle x}$ for which ${\displaystyle \pi (x)}$ is currently known. The former estimate converges extremely slowly, while the latter has visually converged on this plot by 108. Source used to generate this chart is shown below.
Ngày	21 tháng 3 năm 2013
Nguồn gốc	Tác phẩm được tạo bởi người tải lên
Tác giả	Dcoetzee
SVG genesis InfoField	The SVG code is valid.   This chart was created with Mathematica.    This chart uses embedded text that can be easily translated using a text editor.

Giấy phép

Tôi, người giữ bản quyền tác phẩm này, từ đây phát hành nó theo giấy phép sau:

Tập tin này được phân phối theo Creative Commons Hiến tặng vào Phạm vi Công cộng Toàn thế giới CC0.

Người nào gán tài liệu này với tác phẩm nghĩa là đã hiến tác phẩm cho phạm vi công cộng bằng cách từ bỏ mọi quyền lợi của người đó đối với tác phẩm theo quy định của luật bản quyền, có hiệu lực trên toàn thế giới và các quyền lợi pháp lý phụ mà người đó có được trong tác phẩm, đến mức độ mà luật pháp cho phép. Bạn được tự do sao chép, phân phối, và biểu diễn tác phẩm này, tất cả đều không bắt buộc ghi công. http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.enCC0Creative Commons Zero, Public Domain Dedicationfalsefalse

Source

All source released under CC0 waiver.

Mathematica source to generate graph (which was then saved as SVG from Mathematica):

(* Sample both functions at 600 logarithmically spaced points between \
1 and 2^40 *)
base = N[E^(24 Log[10]/600)];
ratios = Table[{Round[base^x], 
    N[PrimePi[Round[base^x]]/(base^x/(x*Log[base]))]}, {x, 1, 
    Floor[40/Log[2, base]]}];
ratiosli = 
  Table[{Round[base^x], 
    N[PrimePi[
       Round[base^x]]/(LogIntegral[base^x] - LogIntegral[2])]}, {x, 
    Ceiling[Log[base, 2]], Floor[40/Log[2, base]]}];
(* Supplement with larger known PrimePi values that are too large for \
Mathematica to compute *)
LargePiPrime = {{10^13, 346065536839}, {10^14, 3204941750802}, {10^15,
     29844570422669}, {10^16, 279238341033925}, {10^17, 
    2623557157654233}, {10^18, 24739954287740860}, {10^19, 
    234057667276344607}, {10^20, 2220819602560918840}, {10^21, 
    21127269486018731928}, {10^22, 201467286689315906290}, {10^23, 
    1925320391606803968923}, {10^24, 18435599767349200867866}};
ratios2 = 
  Join[ratios, 
   Map[{#[[1]], N[#[[2]]]/(#[[1]]/(Log[#[[1]]]))} &, LargePiPrime]];
ratiosli2 = 
  Join[ratiosli, 
   Map[{#[[1]], N[#[[2]]]/(LogIntegral[#[[1]]] - LogIntegral[2])} &, 
    LargePiPrime]];
(* Plot with log x axis, together with the horizontal line y=1 *)
Show[LogLinearPlot[1, {x, 1, 10^24}, PlotRange -> {0.8, 1.25}], 
 ListLogLinearPlot[{ratios2, ratiosli2}, Joined -> True], 
 LabelStyle -> FontSize -> 14]

LaTeX source for labels:

$$ \left.{\pi(x)}\middle/{\frac{x}{\ln x}}\right. $$
$$ \left.{\pi(x)}\middle/{\int_2^x \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t}\right. $$

These were converted to SVG with [1] and then the graph was embedded into the resulting document in Inkscape. Axis fonts were also converted to Liberation Serif in Inkscape.