Giải tam giác (tiếng Latinh: solutio triangulorum) là bài toán lượng giác tập trung vào việc tìm ra các yếu tố (nghiệm) của một tam giác (góc và độ dài cạnh), khi chưa biết một số yếu tố của tam giác đó. Tam giác có thể nằm trên một mặt phẳng hoặc một mặt cầu. Giải tam giác được ứng dụng trong trắc địa, thiên văn học, xây dựngđiều hướng.

Giải tam giác phẳng sửa

 
Kí hiệu tiêu chuẩn của tam giác

Một tam giác ở dạng thông thường có sáu đặc tính (xem hình bên): ba cạnh (độ dài a, b, c) và ba góc (α, β, γ). Bài toán lượng giác mặt phẳng cổ điển yêu cầu từ ba đặc tính cho trước, hãy tìm ra ba đặc tính còn lại. Một tam giác có thể được xác định một cách duy nhất theo định nghĩa này khi rơi vào một trong các trường hợp sau:[1][2]

  • Ba cạnh (CCC)
  • Hai cạnh và một góc xen giữa (CGC, cạnh-góc-cạnh)
  • Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG), nếu cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh kia.
  • Một cạnh và hai góc kề cạnh đó (GCG)
  • Một cạnh, góc đối và một góc kề cạnh đó (GGC).

Đối với tất cả trường hợp trong mặt phẳng, phải có ít nhất một độ dài cạnh được cho trước. Nếu chỉ có các góc được cho trước, không thể tìm ra các độ dài cạnh được bởi vì khi đó, mọi tam giác đồng dạng đều là nghiệm.

Hệ thức lượng sửa

 
Tổng quan về các bước và cộng cụ cụ thể được dùng để giải tam giác mặt phẳng

Cách giải tiêu chuẩn cho bài toán này là sử dụng các hệ thức lượng sau:

Định lý cosin
 
 
 
Định lý sin
 
Tổng ba góc của một tam giác
 
Định lý tan
 

Ngoài các hệ thức trên, còn có những quan hệ phổ quát khác có thể hữu ích, như định lý cotangcông thức Mollweide.

Lưu ý sửa

  1. Để tìm một góc chưa biết, định lí cosin an toàn hơn định lý sin. Lí do là vì giá trị sin của góc đó không phải lúc nào cũng giúp xác định được góc. Ví dụ, nếu sin β = 0.5 thì góc β có thể bằng 30° hoặc 150°. Sử dụng định lý cosin sẽ tránh được vấn đề này: trong khoảng từ 0° đến 180° giá trị cos sẽ luôn xác định được góc của nó một cách rõ ràng. Mặt khác, đối với góc nhỏ (hoặc gần bằng 180°) thì xác định góc từ sin của nó sẽ thiết thực hơn về mặt số học so với xác định góc từ cosin bởi vì hàm cos ngược (arccos) có đạo hàm phân kì tại 1 (hoặc −1).
  2. We assume that the relative position of specified characteristics is known. If not, the mirror reflection of the triangle will also be a solution. For example, three side lengths uniquely define either a triangle or its reflection.

Ba cạnh (CCC) sửa

 
Ba cạnh cho trước

Cho ba cạnh với độ dài lần lượt là a, b, c. Để tim các góc α, β, sử dụng định lý cosin:[3]

 

Khi đó góc γ = 180° − αβ.

Một số tài liệu khuyên rằng nên tìm góc β bằng định lý sin. Tuy nhiên (như đã viết ở Lưu ý 1), sẽ có rủi ro nhầm lẫn giữa giá trị của góc nhọn và góc tù.

Một phương pháp khác để tính các góc từ các cạnh đã biết là áp dụng định lý cotang.

Hai cạnh và góc xen giữa (CGC) sửa

 
Hai cạnh và góc xen giữa cho trước

Ở đây, độ dài cạnh a, b và góc γ giữa hai cạnh được biết trước. Cạnh thứ ba có thể được xác định bằng định lý cosin:[4]

 

Bây giờ định lý cosin có thể được dùng để tìm góc thứ hai:

 

Cuối cùng, β = 180° − αγ.

Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG) sửa

 
Hai cạnh và một góc không xen giữa cho trước
 
Hai nghiệm đối với tam giác có cạnh kề góc không xen giữa ngắn hơn cạnh còn lại

Trường hợp này chỉ có thể giải được một cách duy nhất khi độ dài của cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh không kề với góc đó; nếu không sẽ có hai trường hợp có thể xảy ra. Giả sử hai cạnh b, c và góc β được biết trước. Phương trình tìm góc γ có thể được suy ra từ định lý sin:[5]

 

Gọi D = c/b sin β (vế phải phương trình). Có bốn trường hợp có thể xảy ra:

  1. Nếu D > 1, không tồn tại tam giác bởi vì cạnh b không cắt đường BC. Cũng vì thế mà không giải được tam giác nếu góc β ≥ 90°bc.
  2. Nếu D = 1, tồn tại một nghiệm duy nhất: γ = 90°. Tam giác này là tam giác vuông.
  3. Nếu D < 1, có hai khả năng có thể xảy ra.
    1. Nếu bc, thì βγ (cạnh lớn hơn tương ứng với góc lớn hơn). Vì một tam giác không thể có hai góc tù, γ sẽ là góc nhọn và nghiệm γ = arcsin D là duy nhất.
    2. If b < c, góc γ có thể nhọn với γ = arcsin D hoặc tù với γ′ = 180° − γ. Hình bên cho thấy điểm C, cạnh b và góc γ là nghiệm thứ nhất; và điểm C′, cạnh b′ và góc γ′ là nghiệm thứ hai.

Một khi tìm được γ, góc còn lại α = 180° − βγ.

Có thể tìm cạnh thứ ba bằng định lý sin:

 

hoặc từ định lý cosin:

 

Một cạnh và hai góc kề (GCG) sửa

 
Một cạnh và hai góc kề cho trước

Các yếu tố được biết trước là cạnh c và các góc α, β. Góc thứ ba γ = 180° − αβ.

Hai cạnh chưa biết có thể được tính bằng định lý sin:[6]

 

hay

 
 

Một cạnh, một góc kề và một góc đối (GGC) sửa

Quy trình giải tam giác GGC cũng giống với giải tam giác GCG: Đầu tiên, tìm góc thứ ba bằng cách lấy 180° trừ đi hai góc đã biết; sau đó tìm hai cạnh còn lại bằng định lý sin.

Các độ dài khác sửa

Trong nhiều trường hợp, tam giác có thể được giải nếu có trước ba yếu tố có thể gồm đường trung tuyến, đường caođường phân giác. Posamentier và Lehmann[7] đã liệt kê các kết quả cho câu hỏi về khả năng giải được sử dụng không quá căn bậc hai (v.d. tính dựng hình) cho mỗi trong số 95 trường hợp riêng biệt; 63 trong số đó có thể dựng hình được.

Giải tam giác cầu sửa

 
Spherical triangle

Một tam giác cầu (spherical triangle) hoàn toàn được xác định bằng ba trong số sáu đặc điểm của nó (ba cạnh và ba góc). Độ dài của các cạnh a, b, c của một tam giác cầu of a spherical triangle are their central angles, measured in angular units rather than linear units. (On a unit sphere, the angle (in radians) and length around the sphere are numerically the same. On other spheres, the angle (in radians) is equal to the length around the sphere divided by the radius.)

Spherical geometry differs from planar Euclidean geometry, so the solution of spherical triangles is built on different rules. For example, the sum of the three angles α + β + γ depends on the size of the triangle. In addition, similar triangles cannot be unequal, so the problem of constructing a triangle with specified three angles has a unique solution. The basic relations used to solve a problem are similar to those of the planar case: see Spherical law of cosines and Spherical law of sines.

Among other relationships that may be useful are the half-side formula and Napier's analogies:[8]

  •  
  •  
  •  
  •  
 
Three sides given

Three sides given (spherical SSS) sửa

Known: the sides a, b, c (in angular units). The triangle's angles are computed using the spherical law of cosines:

 
 
 
 
Two sides and the included angle given

Two sides and the included angle given (spherical SAS) sửa

Known: the sides a, b and the angle γ between them. The side c can be found from the spherical law of cosines:

 

The angles α, β can be calculated as above, or by using Napier's analogies:

 
 

This problem arises in the navigation problem of finding the great circle between two points on the earth specified by their latitude and longitude; in this application, it is important to use formulas which are not susceptible to round-off errors. For this purpose, the following formulas (which may be derived using vector algebra) can be used:

 

where the signs of the numerators and denominators in these expressions should be used to determine the quadrant of the arctangent.

 
Two sides and a non-included angle given

Two sides and non-included angle given (spherical SSA) sửa

This problem is not solvable in all cases; a solution is guaranteed to be unique only if the side length adjacent to the angle is shorter than the other side length. Known: the sides b, c and the angle β not between them. A solution exists if the following condition holds:

 

The angle γ can be found from the spherical law of sines:

 

As for the plane case, if b < c then there are two solutions: γ and 180° - γ.

We can find other characteristics by using Napier's analogies:

 
 
One side and two adjacent angles given

A side and two adjacent angles given (spherical ASA) sửa

Known: the side c and the angles α, β. First we determine the angle γ using the spherical law of cosines:

 

We can find the two unknown sides from the spherical law of cosines (using the calculated angle γ):

 
 

or by using Napier's analogies:

 
 
One side, one adjacent angle and the opposite angle given

A side, one adjacent angle and the opposite angle given (spherical AAS) sửa

Known: the side a and the angles α, β. The side b can be found from the spherical law of sines:

 

If the angle for the side a is acute and α > β, another solution exists:

 

We can find other characteristics by using Napier's analogies:

 
 
Three angles given

Three angles given (spherical AAA) sửa

Known: the angles α, β, γ. From the spherical law of cosines we infer:

 
 
 

Solving right-angled spherical triangles sửa

The above algorithms become much simpler if one of the angles of a triangle (for example, the angle C) is the right angle. Such a spherical triangle is fully defined by its two elements, and the other three can be calculated using Napier's Pentagon or the following relations.

  (from the spherical law of sines)
 
  (from the spherical law of cosines)
 
  (also from the spherical law of cosines)
 

Ứng dụng sửa

Đo đạc tam giác sửa

 
Distance measurement by triangulation

Nếu một người muốn đo đạc khoảng cách d từ bờ đến một chiếc thuyền ngoài xa bằng phép đạc tam giác, người đó cần đánh dấu trên bờ hai điểm với khoảng cách l biết trước giữa chúng (đường cơ sở). Gọi α, β là hai góc giữa đường cơ sở và hướng của chiếc thuyền.

Từ công thức bên trên (trường hợp GCG trên hình học phẳng) một người có thể tính toán khoảng cách mà chính là đường cao tam giác:

 

Trong trường hợp mặt cầu, người đó đầu tiên cần tính độ dài cạnh từ điểm tại α đến chiếc thuyền (cạnh đối của góc β) bằng công thức GCG:

 

và thế nó vào công thức GGC của tam giác vuông nhỏ chứa góc α, cạnh bd:

 

(Công thức mặt phẳng thực ra là số hạng đầu tiên của phép khai triển Taylor của d của nghiệm mặt cầu với luỹ thừa cơ số l.)

Phương pháp này được sử dụng trong chạy tàu ven biển (cabotage). Các góc α, β được xác định bằng việc quan sát các điểm mốc quen thuộc từ chiếc thuyền.

 
How to measure a mountain's height

Một ví dụ khác: Nếu một ai đó muốn đo chiều cao h của một ngọn núi hay một toà nhà, các góc α, β từ hai điểm dưới đất lên đến đỉnh phải được chỉ rõ. Cho là khoảng các giữa hai điểm trên. Từ cùng công thức GCG, ta có:

 

Khoảng cách giữa hai điểm trên địa cầu sửa

 

To calculate the distance between two points on the globe,

Point A: latitude λA, longitude LA, and
Point B: latitude λB, longitude LB

we consider the spherical triangle ABC, where C is the North Pole. Some characteristics are:

 
 
 

If two sides and the included angle given, we obtain from the formulas

 

Here R is the Earth's radius.

Xem thêm sửa

Tham khảo sửa

  1. ^ “Solving Triangles”. Maths is Fun. Truy cập ngày 4 tháng 4 năm 2012.
  2. ^ “Solving Triangles”. web.horacemann.org. Bản gốc lưu trữ ngày 7 tháng 1 năm 2014. Truy cập ngày 4 tháng 4 năm 2012.
  3. ^ “Solving SSS Triangles”. Maths is Fun. Truy cập ngày 13 tháng 1 năm 2015.
  4. ^ “Solving SAS Triangles”. Maths is Fun. Truy cập ngày 13 tháng 1 năm 2015.
  5. ^ “Solving SSA Triangles”. Maths is Fun. Truy cập ngày 9 tháng 3 năm 2013.
  6. ^ “Solving ASA Triangles”. Maths is Fun. Truy cập ngày 13 tháng 1 năm 2015.
  7. ^ Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012: pp. 201–203.
  8. ^ Napier's Analogies at MathWorld

Liên kết ngoài sửa