Thuật toán nhân lũy thừa bằng bình phương

Thuật toán nhân lũy thừa bằng bình phương hoặc thuật toán bình phương và nhân là thuật toán tính nhanh lũy thừa tự nhiên của một số (thực hoặc nguyên), trong trường hợp cơ số là số nguyên có thể được rút gọn theo một môđun nào đó.

Phép nâng lên lũy thừa tự nhiên bậc n của số x (x được gọi là cơ số) được định nghĩa từ hệ thức

x^{n}={\begin{matrix}\underbrace {x*x*...*x} \\n\end{matrix}}

Với n lớn số phép nhân là rất lớn.

Ví dụ

Chẳng hạn với n=35 quá trình tính $x^{35}$ qua 35 bước: $1\Rightarrow x\Rightarrow x^{2}=x*x\Rightarrow x^{3}=x^{2}*x\Rightarrow ...\Rightarrow x^{35}=x^{34}*x$
Ta nhận xét rằng có thể giảm bớt số phép nhân chẳng hạn với dãy phép tính

$1\Rightarrow x\Rightarrow x^{2}=x*x$ , $\Rightarrow x^{4}=(x^{2})^{2}$ , $\Rightarrow x^{8}=(x^{4})^{2}$
$\Rightarrow x^{16}=(x^{8})^{2}\Rightarrow x^{17}=x^{16}*x$ , $\Rightarrow x^{34}=(x^{17})^{2}\Rightarrow x^{35}=x^{34}*x$ .

Công thức đệ quy

Quá trình tính toán trên chính là quá trình tính nhờ công thức đệ quy

Với n=0 thì $x^{n}=1$
Với n>0 ta có công thức

$f(n)={\begin{cases}(x^{k})^{2},&{\mbox{khi }}n=2k\\(x^{k})^{2}*x,&{\mbox{khi }}n=2k+1\end{cases}}$

Như vậy phép tính $x^{n}$ được quy về một số phép bình phương và phép nhân do vậy mà có tên gọi thuật toán bình phương và nhân.

Giải thuật đệ quy

Giải thuật sau tính đệ quy $x^{n}{\pmod {m}}$

Function Square_Multi (int x, n, m){
Var Int Power
If n=0 then return 1
Else {
n:=LShift(n,1) 
Power:= Square_Multi (int x, n, m)
Power:=(Power^2) mod m
  If n BitAnd 1 =0 then 
 Return Power
  Else 
  Return (Power*x) mod m 
} 
 }

Đoạn code viết bằng java:

public static int binhphuong (int x,int n,int m)
{
 int p;
 if (n==0) then return 1;
 p=binhphuong(x,n/2,m);
 if (n%2==0) 
return (p*p)%m;
 else
return (p*p*x)%m;
}

Chú ý rằng một số tự nhiên là chẵn hay lẻ chỉ phụ thuộc vào bít số 0 của nó nên trong giải thuật trên ta sử dụng toán tử AndBit để xác định tính chãn lẻ của n và sử dụng phép LShif để tính phần nguyên của n/2.

Giải thuật không đệ quy

Trong giải thuật đệ quy trên đây ta xét tính chẵn lẻ của n và liên tục chia n cho 2 lấy phần nguyên cho đến khi n=0. Thực chất quá trình này chính là tìm các bít của n. Do đó ta có thể thực hiện phép đổi ra số nhị phân trước sau đó tính lũy thừa theo quy tắc bình phương và nhân.

Giải thuật

Đổi n ra số nhị phân ghi vào mảng $b[1..k]$

Function Power_Modulo(Int x,n,m){

 Var Int Power:=1
 For i=1 to k do
 Power:=(Power^2) mod m
 If b[i]=1 then
 Power:=(Power*x) mod m
 Return Power 
}

Ví dụ

Trong ví dụ sau ta tính ${37}^{27}{\pmod {101}}$ .

Đổi $n=27$ ra số nhị phân ta được $27=11011_{(2)}$ .

Bảng sau đây tính toán từng bước theo giá trị của các bít của $27$ .

Khởi tạo $p=1$ .

$b[i]$	$p=p^{2}$	$p=p{\pmod {101}}$	$p*37$	$p={\pmod {101}}$
$1$	$1^{2}=1$	$1$	$1*37=37$	$37$
$1$	$37^{2}=1369$	$56$	$56*37=2072$	$52$
$0$	$52^{2}=2704$	$78$	-	$78$
$1$	$78^{2}=6084$	$24$	$24*37=888$	$80$
$1$	$80^{2}=6400$	$37$	$37*37=1369$	$56$