Trong toán học, một trường được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩnbậc khác không, với hệ số trong , có nghiệm trong .

Ví dụSửa đổi

Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức

 

không có nghiệm thực, mặc dù cả ba hệ số của nó (1, 0 và 1) là số thực. Cũng vì thế trường các số hữu tỷ không là đóng đại số. Tất cả các trường hữu hạn   không là đóng đại số vì nếu  ,  , …,   là các phần tử của  , thì đa thức

 

luôn khác không trên  .

Trường số phức là trường đóng đại số theo định lý cơ bản của đại số. Một ví dụ khác của một trường đóng đại số là trường các số (phức) đại số.

Các tính chất tương đươngSửa đổi

Trường   là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

  • Mọi đa thức   có bậc   ≥  , với hệ số trong   phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử    , …,   của trường   sao cho
 
  • Mọi hàm hữu tỷ của một biến  , với hệ số trong  , có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng  , trong đó   là số tự nhiên, và  ,   là các phần tử của  .

Các tính chất khácSửa đổi

Nếu   là một trường đóng đại số,   là phần tử của  , và   là số tự nhiên, thì   có một căn bậc  th trong  (vì phương trình   có nghiệm trong  . Tuy thế, có những trường có căn bậc  th (với mọi số tự nhiên  ) nhưng không là trường đóng đại số.

Theo bổ đề Zorn, mọi trường  bao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa   như một trường con.

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi