Trường cùng với nhómvành là các cấu trúc đại số cơ bản trong đại số trừu tượng.

Mục lục

Khái niệmSửa đổi

Trường (đại số) là một tập   trên đó có hai phép toán cộngnhân thỏa mãn:

  1.  nhóm giao hoán với phép cộng
  2.  nhóm giao hoán với phép nhân
  3. Trên  , phép nhân phân phối với phép cộng

Chi tiết hơn các điều kiện trên, ta có thể kể ra các tiên đề của trường như sau:

Trường là một tập hợp   trên đó xác định hai phép toán cộng và nhân:

Phép cộng (+):  
Phép nhân (×):  
thoả mãn các tiên đề sau:
  1. Phép cộng có tính kết hợp:  ;
  2. Phép cộng có tính giao hoán:  ;
  3. Tồn tại phần tử 0:  ;
  4. Tồn tại phần tử đối:  ;
  5. Phép nhân có tính kết hợp:  ;
  6. Phép nhân có tính giao hoán:  ;
  7. Tồn tại phần tử đơn vị:  ;
  8. Tồn tại phần tử nghịch đảo:  ;
  9. Phép nhân phân phối với phép cộng:  .

Ví dụSửa đổi

Các trường hữu hạn có vai trò to lớn trong lý thuyết Galois.
  • Trường có ít phần tử nhất là trường chỉ gồm duy nhất một phần tử 0. Tiếp theo là trường chỉ gồm hai phần tử 0 và 1 với phép cộng và phép nhân modulo 2.

Các trường hợp không phải là trườngSửa đổi

  • Mọi tập   với phép cộng và phép nhân module n trong đó n là hợp số không là một trường.

Trường conSửa đổi

Giả sử F là một trường. Tập con E   F được gọi là trường con của F nếu chính E là một trường với cùng phép toán trong F. Định lý: Cho F là một trường và tập con E   F có nhiều hơn một phần tử. Các điều kiện sau là tương đương.

  1. E là trường con của F
  2.   và nếu  
  3.   và nếu  
  • Ví dụ:
    • Trường số hữu tỷ   là trường con của trường số thực,   trường số thực là trường con của trường số phức  .
    • Tập A  
A=  
là trường con của  .
    • Tập các ma trận cấp 2 dạng
 
với phép cộng và nhân ma trận là một trường và tập các ma trận dạng
  là trường con của nó.

Nhưng đôi khi E không phải là trường con của F nếu   và F là một trường.

Trường các thươngSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê